Lemma XXVI
Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad singulas ponere.
Dantur positione tres rectæ infinitæ AB, AC, BC, & oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF, EMF, quæ capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB æquales respective. Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literæ DRED eodem ordine cum literis BACB, literæ DGFD eodem cum literis ABCA, & literæ EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur hæc segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in G, sintq; centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad PQ, & centro G, intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum DGE in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE secans circulum tertium GEc in c. Et compleatur figura ABCdef similis & æqualis figuræ abcDEF. Dico factum.
Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG, bG, PD, QD & producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD æqualis angulo CAB, & angulus EcF æqualis angulo ACB, adeoq; triangulum anc triangulo ABC æquiangulum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeoq; angulo FbD æqualis est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui dimidius est anguli ad centrum GPD, æqualis est angulo ad circumferentiam GaD; & angulus GQR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD, æqualis est angulo ad circumferentiam GbD, adeoq; eorum complementa PQG, abG æquantur, suntq; ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP ad PQ; id est (ex constructione) ut Ga ad AB. Æquantur itaq; ab & AB, & propterea triangula abc, ABC, quæ modo similia esse probavimus, sunt etiam æqualia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF anguli D, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABCdef figuræ abcDEF similis & æqualis, atq; eam complendo solvetur Problema. Q. E. F.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF accedente, & lateribus DE, DF in directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE, rectis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis positione datis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.