Prop. LIII. Prob. XXXV
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.
Oscilletur corpus T in curva quavis linea STRQ, cujus axis sit OR transiens per virium centrum C. Agatur TX quæ curvam illam in corporis loco quovis T contingat, inq; hac Tangente TX capiatur TY æqualis arcui TR. Nam longitudo arcus illius ex figurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotescit. De puncto Y educatur recta YZ Tangenti perpendicularis. Agatur CT perpendiculari illi occurrens in Z, & erit vis centripeta proportionalis rectæ TZ. Q. E. I.
Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur hæc in vires TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc sit ut via describenda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illæ, & propterea facient ut partes illæ simul describantur. Corpora autem quæ partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pendens, describat arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quæ sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus TR ad ejus sinum TN: æqualia erunt Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea TZ erit ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscillationes evadent Isochronæ, erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY æqualis ad arcus illius sinum TN.
Corol. 2. Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressæ ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quæ oritur applicando rectangulum sub arcu TR & radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronæ.