Prop. LXXX. Theor. XL
Si ad Sphæræ alicujus AEB, centro S descriptæ, particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctis singulis D perpendicula DE, Sphæræ occurrentia in E, & in ipsis capiantur longitudines DN, quæ sint ut quantitas DEq. × PS ÷ PE & vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiam PE exercet in corpusculum P conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ AB & linea curva ANB, quam punctum N perpetuo tangit.
Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphæræ AB dividi in particulas innumeras æquales Dd, & Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq. × Ff & vis particulæ unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff æqualis PS × Dd ÷ PE; & DEq. × Ff æquale Dd in DEq. × PS ÷ PE, & propterea vis laminæ EFfe est ut Dd in DEq. × PS ÷ PE & vis particulæ ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN × Dd, seu area evanescens DNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitæ, ut areæ omnes DNnd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.
Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEq.: erit vis qua corpusculum P a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.
Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.
Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut {DEq. × PS} ÷ {PE × V}; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.