Prop. XXVIII. Prob. VIII
Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.
Curvatura Trajectoriæ, quam mobile, si secundum Trajectoriæ illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios æquales pertinentium, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lunæ in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem 2PK (Vide Figur. pag. 434.) qua gravitas acceleratrix Lunæ in Solem superat gravitatem acceleratricem Terræ in Solem. In Quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis Lunæ in Terram & vis Solaris KS, qua Luna in Terram trahitur. Et hæ attractiones, si {AS + CS} ÷ 2 dicatur N, sunt ut 178725 ÷ ASq. - 2000 ÷ {CS × N} & 178725 ÷ CSq. + 1000 ÷ {AS × N} quam proxime; seu ut 178725N in CSq. - 2000ASq. in CS, & 178725N in ASq. + 1000 CSq. × AS. Nam se gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML, quæ in Quadraturis est PS vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur à Terra, quamque jam ante nominavi 2PK. Velocitas autem Lunæ in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS & momentum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areæ in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073CS ad 10973AS. Sumatur hæc ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407 × 178725ASq. × CSq. × N - 120407 × 2000AS qq. × CS ad 122611 × 178725ASq. × CSq. × N + 122611 × 1000CS qq. × AS, id est ut 2151969AS × CS × N - 24081AS cub. ad 2191371AS × CS × N + 12261CS cub.
Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunæ representet, & ducendo Sp æqualem SP, ea lege ut angulus PSp æqualis sit motui apparenti Solis à tempore Quadraturæ C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicæ Lunaris ad tempus revolutionis Periodicæ seu 29 d. 12. h. 44′, ad 27 d. 7 h. 43′. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa æqualis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figuræ Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quæ quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilè colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figuræ Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub. + 16824/100000CSq. × AS ad CS cub. + 16824/100000ASq. × CS. Ubi numerus 16824/100000 designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est) differentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43′, & 29 d. 12 h. 44′, applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43′.
Igitur cum a designet Syzygiam Lunæ, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS × CS applicati, fiunt 2062,79CS qq. - 2151969N × CS cub. + 368682N × AS × CSq. + 36342ASq. × CSq. - 362046N × ASq. × CS + 2191371N × AS cub. + 4051,4AS qq. = 0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ N scribo 1, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit CS = 1 + x, & AS = 1 - x: quibus in æquatione scriptis, & æquatione prodeunte resolutâ, obtinetur x æqualis 0,0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0,9928, qui numeri sunt ut 6911/12 & 6811/12 quam proximè. Est igitur distantia Lunæ à Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut 6811/12 ad 6911/12, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.