Prop. IX. Theor. VII
Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus præteriti ut sector Hyperbolæ.
Rectæ AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æqualis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum Hyperbola rectangula AVZ axem habens AX, verticem principalem A & Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit sector circularis AtD ut tempus ascensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis præteriti, si modo Sectorem tangentes Ap & AP sint velocitates.
Cas. 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & pDq. Cum particulæ illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp ÷ pD quad. Sed pD quad. est AD quad. + Ap quad. id est AD quad. + Ak × AD seu AD × Ck; & qDp est ½AD × pq. Ergo Sectoris particula vDt est ut pq ÷ Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq respondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q. E. D.
Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum trianguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq. - TXq. ad ADq. - APq. Sed ex natura Hyperbolæ DXq. - TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD × AK. Ergo particulæ sunt ad invicem ut ADq. ad ADq. - AD × AK; id est ut AD ad AD - AK seu AC ad CK: ideoq; Sectoris particula TDV est PDQ × AC ÷ CK, atq; adeo ob datas AC & AD, ut PQ ÷ CK; & propterea per Corol. 5. Prop. VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ PQ generantur, ut summa particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ æquale AC × KL (per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq; KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ × ½AD seu DPQ ut 2AP × KN ad ½AC × AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN est ad DTV ut 2AP × KN × CK ad ½AC cub.; id est, ob æquales CKN & ¼ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæ ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q. E. D.
Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.
Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illæ initio descensus æquantur inter se, perinde ut areæ illæ ATD, APD.
Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD, sive ut recta Ap ad arcum At.
Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.
Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.
Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.