Prop. XLIV. Theor. XIV
Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.
Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & æquales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto k in rectam, pC demitte perpendiculum kr, idemq; produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam corporum altitudines PC & pC, KC & kC semper æquantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas PC, pC; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis PC, pC perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt æquales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineæ pC ad motum angularem lineæ PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utroq; pervenit ad punctum K, corpus p æquali in centrum motu æqualiter movebitur a P versus C, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, quæ per punctum k in lineam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret distantiam a linea pC, quæ sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum transversum alterius. Quare cum kr æqualis sit distantiæ quam corpus alterum acquirit a linea pC, sitq; mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m. Hæc ita se habebunt ubi corpora P & p æqualiter secundum lineas pC & PC moventur, adeoq; æqualibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus VCp ad angulum VCP, sitq; nC æqualis kC, & corpus p completo illo tempore revera reperietur in n; adeoq; vi majore urgetur, si modo angulus mCp angulo kCp major est, id est si orbis Vpk movetur in consequentia, & minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut locorum intervallum mn, per quod corpus illud p ipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet. Centro C intervallo Cn vel Ck describi intelligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn × mt æquale rectangulo mk × ms, adeoq; mn æquale mk × ms ÷ mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumq; differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeoq; rectangulum mk × ms est reciproce ut quadratum altitudinis pC. Est & mt directe ut ½mt, id est ut altitudo pC. Hæ sunt primæ rationes linearum nascentium; & hinc fit mk × ms ÷ mt, id est lineola nascens mn, eiq; proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis pC. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum PK, ut mk × ms ad rk quadratum; hoc est si capiantur datæ quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq. - Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis æqualis areæ toti VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq. - Fq. ad Fq. Namq; sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.
Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Apsidem summam V; eiq; similis & æqualis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc æqualis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq. ÷ Aq., & vis in V erit Fq. ÷ CV quad. Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeoq; valet RFq. ÷ CV cub.: & vis quæ sit ad hanc ut Gq. - Fq. ad Fq., valet {RGq. - RFq.} ÷ CV cub.: estq; hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad seipsam in altitudine CV ut 1 ÷ A cub. ad 1 ÷ CV cub., eadem differentia in omni altitudine A valebit {RGq. - RFq.} ÷ A cub. Igitur ad vim Fq. ÷ Aq. qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur excessus {RGq. - RFq.} ÷ A cub. & componetur vis tota Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. qua corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.
Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis VPK Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; eiq; similis, æqualis & concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sitq; 2R Ellipseos hujus latus rectum, & 2T latus transversum atq; angulus VCp semper sit ad angulum VCP ut G ad F; vires quibus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus æqualibus revolvi possunt, erunt ut Fq.A ÷ T cub. & Fq.A ÷ T cub. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. respective.
Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV nominetur T, & radius curvaturæ quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli æqualiter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunq; immobili VPK revolvi potest, in loco V dicatur {Fq. ÷ Tq.} V, atq; aliis in locis P indefinite dicatur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk circulariter mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium X + {VRGq. - VRFq.} ÷ A cub.
Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocunq; immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.
Corol. 6. Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur perpendiculum VP longitudinis indeterminatæ, jungaturq; PC, & ipsi æqualis agatur Cp, constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua corpus gyrari potest in Curva illa Vpk quam punctum p perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitudinis Cp. Nam corpus P, per vim inertiæ, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis CP vel Cp reciproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est autem hæc Curva Vpk eadem cum Curva illa VPQ in Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere.