Prop. XXXVI. Prob. VIII
Invenire resistentiam corporis Sphærici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis. (Vide Fig. Pag. 325.)
Designet ABKI corpus Sphæricum centro C semidiametro CA descriptum. Producatur CA primo ad S deinde ad R, ut sit AS pars tertia ipsius CA, & CR sit ad CS ut densitas corporis Sphærici ad densitatem Medii. Ad CR erigantur perpendicula PC, RX, centroque R & Asymptotis CR, RX describatur Hyperbola quævis PVY. In CR capiatur CT longitudinis cujusvis, & erigatur perpendiculum TV abscindens aream Hyperbolicam PCTV, & sit CZ latus hujus areæ applicatæ ad rectam PC. Dico quod motus quem globus, describendo spatium CZ, ex resistentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudo CT ad longitudinem CR quamproxime.
Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, æqualis est motui quem imprimeret in easdem particulas. Ponamus quod particulæ singulæ reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si modo particulæ quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cylindrus ex reflexione particulæ cujusque amittit, erit ad motum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Proinde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri ut 2Ct × CS ad AI × CR. Ea enim est ratio materiæ Medii, a cylindro protrusæ & reflexæ, ad massam cylindri. Unde cum globus sit duæ tertiæ partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut Ct × CS ad ⅔AI × CR, sive ut Ct ad CR. Erigatur perpendiculum tv Hyperbolæ occurrens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II.) si corpus describendo longitudinem areæ CtvP proportionalem, amittit motus sui totius CR partem quamvis Ct, idem describendo longitudinem areæ CTVP proportionalem, amittet motus sui partem CT. Sed longitudo Ct æqualis est CPvt ÷ CP, & longitudo CZ (per Hypothesin) æqualis est CPTV ÷ CP, adeoque longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus sui partem, quæ sit ad totum ut Ct ad CR, is describendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus sui partem quæ sit ad totum ut CT ad CR. Q. E. D.
Corol. 1. Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus quo corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui partem Ct: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiæ ad gravitatem Globi.
Corol. 2. Quoniam in his determinandis supposui quod particulæ Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo reflectantur, & particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particulæ vi omni Elastica aliaque omni vi reflexiva destituuntur, corpus Sphæricum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.
Corol. 3. Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis & Corollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit.
Corol. 4. Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: hæc describendo longitudinem quamvis CZ amittent majorem motus sui partem, quam quæ sit ad motum suum totum ut CT ad CR.
Corol. 5. Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistentiæ pro ratione velocitatis inveniri potest.