Prop. XLI. Prob. XXVIII
Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.
Tendat vis quælibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk. Detur circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centroq; eodem describantur alii quivis circuli ID, KE trajectoriam secantes in I & K rectamq; CV in D & E. Age tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N & X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y. Sint autem puncta I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sitq; A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat æqualem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quæ in Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæ ABFD, & triangulum ICK tempori proportionale datur, adeoq; KN est reciproce ut altitudo IC, id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut Q ÷ A; quam nominemus Z. Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q ut sit √ABFD in aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper √ABFD ad Z ut IK ad KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD - ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. adeoq; √ABFD - ZZ ad Z ut IN ad KN, & propterea A × KN æquale Q × IN ÷ √ABFD - ZZ. Unde cum YX × XC sit ad A × KN in duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX × XC æquale Q × IN × CX quad. ÷ AA √ABFD - ZZ. Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db, Dc ipsis Q ÷ 2√ABFD - ZZ & Q × CX quad. ÷ 2AA √ABFD - ZZ æquales respective, & describantur curvæ lineæ ab, cd quas puncta b, c perpetuo tangunt; deq; puncto V ad lineam AC erigatur perpendiculum Vad abscindens areas curvilineas VDba, VDdc, & erigantur etiam ordinatæ Ez, Ex: quoniam rectangulum Db × IN seu DbzE æquale est dimidio rectanguli A × KN, seu triangulo ICK; & rectangulum Dc × IN seu Dc × E æquale est dimidio rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam arearum VDba, VIC æquales semper sunt nascentes particulæ DbzE, ICK, & arearum VDcd, VCX æquales semper sunt nascentes particulæ DExc, XCY, erit area genita VDba æqualis areæ genitæ, VIC, adeoq; tempori proportionalis, & area genita VDdc æqualis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, eiq; æqualis Sector VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & altitudine CI datur locus I, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. I.
Corol. 1. Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectæ IK & NK æquantur, adeoq; ubi area ABFD æqualis est ZZ.
Corol. 2. Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areæ ABFD.
Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio quælibet Conica VRS, & a quovis ejus puncto R agatur Tangens RT occurrens axi infinite producto CV in puncto T; dein juncta CR ducatur recta CP, quæ æqualis sit abscissæ CT, angulumq; VCP Sectori VCR proportionalem constituat; tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiæ locorum a centro reciproce proportionalis, & exeat corpus de loco V justa cum velocitate secundum lineam rectæ CV perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit; adeoq; si conica sectio CVRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacunq; cum velocitate exeat de loco V, & perinde ut incæperit vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura CVRS vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quæ invenitur capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem, & longitudinem CP longitudini CT æqualem: ut supra. Consequuntur hæc omnia ex Propositione præcedente, per Curvæ cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio.