Prop. XXV. Prob. XVII
Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.
Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duo data transit, age rectam infinitam; eaq; adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illæ duæ evadent parallelæ, & tangens tertia fiet parallela rectæ per puncta duo transeunti. Sunto hi, kl tangentes duæ parallelæ, ik tangens tertia, & hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quæ Conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hikl complens. Secentur rectæ hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus quadratum rectanguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alteræ duæ sunt latera quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb, ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik & latus quadratum rectanguli alb. Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. Q. E. F. Cæterum perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, debent puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum extra, Problema impossibile est.