Prop. XLV. Prob. XXXI
Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.
Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quærendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetæ quibus describuntur, inter se collatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine maxima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro altitudinum differentia CV - CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C (ut in Corollario 2.) revolvente movetur, quæq; in Corollario 2. erat ut Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. id est ut {Fq. A + RGq. - RFq.} ÷ A cub., substituendo T - X pro A, erit ut {RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X} ÷ A cub. Reducenda similiter est vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cub. & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit.
Exempl. 1. Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeoq; ut A cub. ÷ A cub., sive (scribendo T - X pro A in Numeratore) ut {T cub. - 3Tq.X + 3TXq. - X cub.} ÷ A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq. - RFq. + TFq. ad T cub. ut -Fq.X ad -3Tq.X + 3TXq. - X cub. sive ut -Fq. ad -3Tq. + 3TX - Xq. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factas R, T æquales, atq; X in infinitum diminutam, rationes ultimæ erunt RGq. ad T cub. ut -Fq. ad -3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq. ad 3Tq. & vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3T quad. id est, ut 1 ad 3; adeoq; G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP ut 1 ad √3. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo conficiat angulum VCP (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum 180 ÷ √3: id adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180 ÷ √3 graduum, seu 103 gr. 55 m. ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsidem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.
Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dignitas quælibet An - 3 seu An ÷ A3: ubi n - 3 & n significant dignitatum indices quoscunq; integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille An seu T - X n in seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evadit Tn - nXTn - 1 + {nn - n}÷2 Xq.Tn - 2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X, fit RGq. - RFq. + TFq. ad Tn ut -Fq. ad -nTn - 1 + {nn - n}÷2 XTn - 2 &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit RGq. ad Tn ut -Fq. ad -nTn - 1, seu Gq. ad Tn - 1 ut Fq. ad nTn - 1, & vicissim Gq. ad Fq. ut Tn - 1 ad nTn - 1 id est ut 1 ad n; adeoq; G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √n. Quare cum angulus VCP, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati An - 3 proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 ÷ √n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut A seu A4 ÷ A3, erit n æqualis 4 & √4 æqualis 2; adeoq; angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam æqualis 180 ÷ 2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1 ÷ A seu A2 ÷ A3, erit n = 2, adeoq; inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum 180 ÷ √2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in æternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A11/4, adeoq; directe ut 1 ÷ A11/4 seu ut A¼ ÷ A3 erit n æqualis ¼, & 180 ÷ √n gr. æqualis 360 gr. & propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in æternum.
Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam esse ut {bAm + cAn} ÷ A cub. id est ut {b in T - Xm + c in T - Xn} ÷ A cub. seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut
bTm - mbXTm - 1 + {mm - m}÷2 bX2Tm - 2 + cTn - ncXTn - 1 + {nn - n}÷2 cX2Tn - 2 &c.
A cub.
& collatis numeratorum terminis, fiet RGq. - RFq. + TFq. ad bTm + cTn, ut -Fq. ad -mbTm - 1 - ncTn - 1 + {mm - m}÷2 XTm - 2 + {nn - n}÷2 XTn - 2 &c. Et sumendo rationes ultimas quæ prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bTm - 1 + cTn - 1, ut Fq. ad mbTm - 1 + ncTn - 1, & vicissim Gq. ad Fq. ut bTm - 1 + cTn - 1 ad mbTm - 1 + ncTn - 1. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b + c ad mb + nc, adeoq; ut 1 ad {mb + nc} ÷ {b + c}. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √{{mb + nc} ÷ {b + c}}. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati {bAm + cAn} ÷ A cub. proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 √{{b + c} ÷ {mb + nc}}. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut {bAm - cAn} ÷ A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √{{b - c} ÷ {mb - nc}} graduum. Nec secus resolvetur Problema in casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponendæ sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendoq; unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa Ann/mm - 3, cujus Index est nn/mm - 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens deq; Apside discedens, si cæperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem minimam, sed descendet usq; ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq; sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 11/2 de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 11/2 ad 1, adeoq; nn/mm - 3 ualeat 1/64 - 3 vel 1/16 - 3 vel 1/4 - 3 vel 4/9 - 3, erit vis ut A1/64 - 3 vel A1/16 - 3 vel A1/4 - 3 vel A4/9 - 3, id est reciproce ut A3 - 1/64 vel A3 - 1/16 vel A3 - 1/4 vel A3 - 4/9. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; Ann/mm - 3 æqualis A-2 seu 1 ÷ A2, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut 3/4 vel 2/3 vel 1/3 vel 1/4 ad 1, adeoq; Ann/mm - 3 æqualis A16/9 - 3 vel A9/4 - 3 vel A9 - 3 vel A16 - 3 & propterea Vis aut reciproce ut A11/9 vel A3/4, aut directe ut A6 vel A13. Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363gr. ad 360gr. adeoq; Ann/mm - 3 erit æquale A-265707÷131769, & propterea Vis centripeta reciproce ut A265707÷131769 seu A24/243. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 603/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.
Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognosci potest (per Exempla tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1 ÷ A2, & vis extranea ablata ut cA, adeoq; vis reliqua ut {A - cA4} ÷ A3; erit (in Exemplis tertiis) A æqualis 1 & n æqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apsides æqualis angulo graduum 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}}. Ponatur vim illam extraneam esse 357,45 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 100 ÷ 35745, & 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}} evadet 180√{35645 ÷ 35345} seu 180,7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeoq; Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.
Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunq; datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscunq; centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quasq; tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.