Lemma II
Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.
Genitam voco quantitatem omnem quæ ex Terminis quibuscunq; in Arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium absq; additione & subductione generatur. Ejusmodi quantitates sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut indeterminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitæ sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neq; enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ quævis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujusq; Generantis coefficiens est quantitas, quæ oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.
Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcunq; perpetuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Momenta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab + aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc + AbC + aBC: & dignitatum A2, A3, A4, A1/2, A3/2, A1/3, A2/3, 1 ÷ A, 1 ÷ A2, & 1 ÷ A1/2 momenta 2Aa, 3aA2, 4aA3, 1/2aA-1/2, 3/2aA1/2, 1/3aA-2/3, 2/3aA-1/3, -aA-2, -2aA-3, & -1/2aA-3/2 respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscunq; An ÷ m momentum fuerit n ÷ m aA(n-m) ÷ m. Item ut Genitæ A quad. × B momentum fuerit 2aAB + A2b; & Genitæ A3B4C2 momentum 3aA2B4C2 + 4A3bB3C2 + 2A3B4Cc; & Genitæ A3 ÷ B2 sive A3B-2 momentum 3aA2B-2 - 2A3bB-3: & sic in cæteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.
Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia ½a & ½b, fuit A - ½a in B - ½b, seu AB - ½aB - ½Ab + ¼ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A + ½a in B + ½b seu AB + ½aB + ½Ab + ¼ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB + Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum aB + Ab. Q. E. D.
Cas. 2. Ponatur AB æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas. 1.) erit gC + Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB + Ab) aBC + AbC + ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.
Cas. 3. Ponantur A, B, C æqualia; & ipsius A2, id est rectanguli AB, momentum aB + Ab erit 2aA, ipsius autem A3, id est contenti ABC, momentum aBC + AbC + ABc erit 3aA2. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunq; An est naAn - 1. Q. E. D.
Cas. 4. Unde cum 1 ÷ A in A sit 1, momentum ipsius 1 ÷ A ductum in A, una cum 1 ÷ A ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius 1 ÷ A seu A-1 est -a ÷ A2. Et generaliter cum 1 ÷ An in An sit 1, momentum ipsius 1 ÷ An ductum in An una cum 1 ÷ An in naAn - 1 erit nihil. Et propterea momentum ipsius 1 ÷ An seu A-n erit -na ÷ An + 1. Q. E. D.
Cas. 5. Et cum A½ in A½ sit A, momentum ipsius A½ in 2A½ erit a, per Cas. 3: ideoq; momentum ipsius A½ erit a ÷ 2A½ sive 2aA-½. Et generaliter si ponatur Am ÷ n æqualem B, erit Am æquale Bn, ideoq; maAm - 1 æquale nbBn - 1, & maA-1 æquale nbB-1 seu nb ÷ Am ÷ n, adeoq; {m ÷ n}aA(m-n) ÷ n æquale b, id est æquale momento ipsius Am ÷ n. Q. E. D.
Cas. 6. Igitur Genitæ cujuscunq; Am Bn momentum est momentum ipsius Am ductum in Bn, una cum momento ipsius Bn ducto in Am, id est maAm - 1 + nbBn - 1; idq; sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut -2A, -B, D, 2E, 3F.
Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunq; dati.
Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.