Prop. LXXXI. Prob. XLI
Stantibus jam positis, mensuranda est Area ABNA.
A puncto P ducatur recta PH Sphæram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. æquale PSq. + SEq. + 2PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangulorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI. Ergo PEq. æquale est contento sub PS & PS + SI + 2SD, hoc est, sub PS & 2LS + 2SD, id est, sub PS & 2LD. Porro DE quad. æquale est SEq. - SDq. seu SEq. - LSq. + 2SLD - LDq. id est, SLD - LDq. - ALB. Nam LSq. - SEq. seu LSq. - SAq. (per Prop. 6 Lib. 2. Elem) æquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq; 2SLD - LDq. - ALB pro DEq. & quantitas {DEq. × PS} ÷ {PE × V}, quæ secundum Corollarium quartum Propositionis præcedentis est ut longitudo ordinatim applicatæ DN, resolvet sese in tres partes
| 2SLD × PS | - | LDq. × PS | - | ALB × PS | : |
| PE × V | PE × V | PE × V |
ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetæ, & pro PE medium proportionale inter PS & 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.
Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2PS × LD pro PEq., & fiet DN ut SL - ½LD - ALB ÷ 2LD. Pone DN æqualem duplo ejus 2SL - LD - ALB ÷ LD: & ordinatæ pars data 2SL ducta in longitudinem AB describet aream rectangulam 2SL × AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo æquetur semper longitudini LD, describet aream {LBq. - LAq.} ÷ 2, id est, aream SL × AB; quæ subducta de area priore 2SL × AB relinquit aream SL × AB. Pars autem tertia ALB ÷ LD ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quæ subducta de area SL × AB relinquet aream quæsitam ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb, quorum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA æquetur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areæ quæsitæ ABNA æqualem.
Exempl. 2. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut cubus distantiæ, vel (quod perinde est) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; scribe PE cub. ÷ 2ASq. pro V, dein 2PS × LD pro PEq.; & fiet DN ut
| SL × ASq. | - | ASq. | - | ALB × ASq. |
| PS × LD | 2PS | 2PS × LDq. |
id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut
| LSI | - ½SI - | ALB × SI | . |
| LD | 2LDq. |
Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima LSI ÷ LD generabit aream Hyperbolicam; secunda ½SI aream ½AB × SI; tertia ALB × SI ÷ 2LDq. aream
| ALB × SI | - | ALB × SI | , |
| 2LA | 2LB |
id est ½AB × SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit area quæsita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI æquetur, perq; punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2ASI subductum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quæsitam ABNA.
Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribe PE4 ÷ 2AS3 pro V, dein √2PS × LD pro PE, & fiet DN ut
| SL × SI3/2 | - | SI3/2 | - | ALB × SI3/2 | . |
| √2 × LD3/2 | 2√2 × LD1/2 | 2√2 × LD5/2 |
Cujus tres partes ductæ in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz.
| √2 × SL × SI3/2 | - | √2 × SL × SI3/2 | , | LB1/2 × SI3/2 - LA1/2 - SI3/2 | & | ALB × SI3/2 | - | ALB × SI3/2 | . |
| LA1/2 | LB1/2 | √2 | 3√2 × LA3/2 | 3√2 × LB3/2 |
Et hæ post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt 8SI cub. ÷ 3LI. Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphæræ centrum trahitur, est ut SI cub. ÷ PI, id est reciproce ut PS cub. × PI. Q. E. I.
Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram, sed expeditius per Theorema sequens.