Tweede Hoofddeel
Over de Ligchamen
Voorafgaande Bepalingen
§ 1. De voorwerpen, welke onder het bereik onzer zinnen vallen, hebben eene meerdere of mindere uitgebreidheid, welke wij de ligchamelijke noemen.
§ 2. Een ligchaam is in alle rigtingen, in lengte, breedte en hoogte tot deszelfs grenzen uitgebreid.
§ 3. Alle ligchamen, welke door platte vlakken begrensd worden, heeten veelvlakkige ligchamen. De platte vlakken heeten de zijden en de lijnen, volgens welke zij aan elkander sluiten, de ribben van het ligchaam.
§ 4. De ruimte, welke een ligchaam inneemt, wordt deszelfs inhoud genoemd. Men gebruikt hiertoe ook het woord volume.
§ 5. De ligchamen, welke door een gelijk getal van gelijkvormige vlakken begrensd worden, zijn gelijkvormig.
Kubiek-Worteltrekking
§ 1. Een product van drie gelijke getallen wordt de kubus, de derde magt of teerling van dat getal genoemd; zoo zijn 3 * 3 * 3 = 27, 5 * 5 * 5 = 125, 9 * 9 * 9 = 729 kubus- of kubiek-getallen. Men verkrijgt ook de derde magt van eene grootheid, wanneer men het vierkant derzelve nog eens met haren wortel vermenigvuldigt.
§ 2. De kubiek-wortel uit een getal (343) te trekken, is het getal (7), hetwelk, tot de derde magt verheven zijnde, dit getal (343) weder voortbrengt, te bepalen.
§ 3. Het teeken ³√, voor een getal staande, geeft te kennen, dat er de kubiek-wortel uit getrokken moet worden.
§ 4. Om den kubiek-wortel van een getal te vinden volgt men dezen algemeenen regel:
1°. Verdeel het gegeven getal van de regterhand af in vakken van drie cijfers.
2°. Neem den naasten wortel uit het eerste of voorste vak; trek deszelfs kubus daarvan af, en voeg achter het verschil de cijfers van het tweede vak.
3°. Neem nu het vierkant des gevonden wortels, en plaats hier naast den wortel zelven; vermenigvuldig beiden met 3; onderzoek door deeling hoe veel maal het eerste dezer producten in de rest, altijd met weglating der twee achterste cijfers, begrepen zij, vermenigvuldig het verkregen quotient met den deeler en het daar naast staande product met het kwadraat van dit quotient, en plaats daar achter nog de derde magt van het quotient; plaats vervolgens onder dit laatste getal eerst het tweede en hier onder weder het eerste product, zoodanig dat elk één cijfer vooruitkome; tel deze getallen te zamen, en trek de som van de rest af.
4°. Plaats achter het verkregen verschil de cijfers van het derde vak, herhaal dezelfde bewerking, en handel op gelijke wijze om al de overige cijfers van den wortel te vinden.
Voorbeeld. Hoe veel is de kubiek-wortel uit 17576?
Bewerking
| ³√17|576 = 26 | 2 * 2 = 4....2 | |
| 8 | -------(3 | |
| ------ | 12....6 | |
| 9 576 | 6...36...216 | |
| 9 576 | ------------- | |
| ----- | 72..216 | 216 |
| 0 | 216 | |
| 72 | ||
| ---- | ||
| 9576 |
Verklaring. Men verdeelt het getal, bij de eenheden te beginnen, van drie tot drie cijfers, en vraagt: welke is de naaste kubiek-wortel uit 17? Men vindt 2. Deszelfs derde magt 2 * 2 * 2 = 8 trekt men van 17 af, als wanneer er 9 overblijft. Naast deze 9 plaatst men de cijfers van het tweede vak, zijnde dan de geheele rest 9576. Om nu het tweede lid van den wortel te vinden, brengt men het eerste lid (2) in kwadraat, gevende 2 * 2 = 4; men vermenigvuldigt dit kwadraat en deszelfs wortel beide met 3, en verkrijgt 4 * 3 = 12 en 2 * 3 = 6. Het eerste product deelt men op de twee eerste cijfers van de rest (9576), want de twee laatste komen niet in aanmerking, en het quotient is 6. Vervolgens vermenigvuldigt men het product 12 met dit quotient (6), het product 6 met het kwadraat van het quotient (6 * 6 = 36) en vergaart deze producten met de derde magt van het quotient 6 (6 * 6 * 6 = 216) tot eene som, op de wijze als in n°. 3 van den algemeenen regel gezegd is. Deze som bedraagt juist de rest 9576, waaruit blijkt, dat de bewerking geëindigd is.
Zie hier nog een uitgewerkt voorbeeld:
³√2|251|799|813|685|258 = 131072
1
——
1 251
1°. af 1 197
——
54 799
2°. af 51 091
——
3 708 813 685
3°. af 3 605 736 043
——
103 077 642 258
4°. af 103 077 642 258
——
0
1°. Om het tweede cijfer in den wortel te vinden:
1 * 1 = 1...1
——(3
3...3
3...9....27
——
9..27 27
27
9
——
1197
2°. Om het derde cijfer te vinden:
13 * 13 = 169..13
——(3
507..39
1...1.....1
——
507..39 1
39
507
——
51091
3°. Bij deze bewerking zal men bevinden, dat het vierde cijfer 0 is; men voegt dus de cijfers van het vijfde vak achter de rest, en werkt als voren om het vijfde cijfer te vinden.
1310 * 1310 = 1716100....1310
——(3
5148300....3930
7 49.....343
——
36038100..192570 343
192570
36038100
——
3605736043
4°. Om het zesde cijfer te vinden:
13107 * 13107 = 171793449...13107
——(3
515380347...39321
2.......4.......8
——
1030760694..157284 8
157284
1030760694
——
103077642248
Voorstellen
1. Trek den kubiek-wortel uit 39304, uit 704969 en uit 78953598.
Antw. 34, 89 en 429.
2. Welke is de kubiek-wortel uit 167284151 en uit 225866529?
Antw. 551 en 609.
3. Hoe veel is de kubiek-wortel uit 73034632?
Antw. 418.
4. Trek den kubiek-wortel uit 367365007.
Antw. 1543.
5. Hoe veel is de kubiek-wortel uit het getal 53497400832?
Antw. 3768.
6. Welke is de kubiek-wortel uit het getal 35184372088832?
Antw. 32768.
7. Hoe veel is de kubiek-wortel uit het getal 281474976710656?
Antw. 65536.
8. Vind den kubiek-wortel uit 2251799813685248.
Antw. 131072.
9. Welke is de kubiek-wortel uit het getal 22762660963735440852831?
Antw. 28340511
10. Waaraan is ³√32769256464059044417929 gelijk?
Antw. 32000409.
§ 5. Uit vele getallen kan de kubiek-wortel niet volkomen, maar alleen bij benadering gevonden worden; zulke getallen noemt men onvolkomene kubiek-getallen, in tegenoverstelling van de zulke, waarvan de kubiek-wortel juist opgaat, en die den naam dragen van volkomene kubiek-getallen.
§ 6. Om uit onvolkomene kubiek-getallen den wortel te trekken, volge men dezen regel: Wanneer men aan het laatste vak gekomen is, plaatst men achter het gevondene gedeelte van den wortel een scheidteeken, en achter de rest van de bewerking drie nullen; op deze wijze gaat men voort, tot dat men een genoegzaam getal cijfers der tiendeelige breuk gevonden heeft.
Voorstellen
1. Zoek den naasten kubiek-wortel uit 2.
Antw. 1,2599210.
2. Welke is de naaste kubiek-wortel uit 5?
Antw. 1,7099759.
3. Vind bij benadering den kubiek-wortel uit 7.
Antw. 1,9129311.
4. Welke is de kubiek-wortel uit 9?
Antw. 2,0800838.
5. Waaraan is ³√10 gelijk?
Antw. Aan 2,1544347.
§ 7. Om den kubiek-wortel uit eene tiendeelige breuk te trekken, deele men, van het scheidteeken af, de geheelen van de regter—naar de linkerhand en de tiendeeligen van de linker—naar de regterhand, van drie tot drie cijfers af, en trekke den wortel op de gewone wijze, mits plaatsende het scheidteeken in den wortel op zijne behoorlijke plaats.
Voorstellen
1. Vind den kubiek-wortel uit 0,027.
Antw. 0,3.
2. Hoe veel is de kubiek-wortel uit 0,000216?
Antw. 0,06.
3. Trek den kubiek-wortel uit 0,000016003008.
Antw. 0,0252.
4. Waaraan is ³√34,328125 gelijk?
Antw. Aan 3,25.
5. Welke zijn de kubiek-wortels uit 8,084294343, uit 281,474976710656 en uit 1152921504,606846976?
Antw. 2,007; 6,5536 en 1048,567.
§ 8. De kubiek-wortel uit eene gewone breuk is gelijk aan den kubiek-wortel uit den teller, gedeeld door den kubiek-wortel uit den noemer. Wanneer teller of noemer of wel beide onvolkomene kubiekgetallen zijn, vermenigvuldige men den teller van de breuk met het vierkant van den noemer, trekke uit het product den kubiek-wortel, en deele dien wortel door den noemer.
Voorstellen
1. Trek den kubiek-wortel uit 8/27 en 64/125?
Antw. 2/3 en 4/5.
2. Hoe veel is de kubiek-wortel uit 216/343?
Antw. 6/7.
3. Welke is de kubiek-wortel uit 729/1000?
Antw. 9/10.
4. Trek den kubiek-wortel uit 1/2.
Antw. ³√4 / 2 = 0,7937005.
5. Hoe veel is de kubiek-wortel uit 2/3, 4/9, 1527/64, 3635/36 en uit 11575/8?
Antw. ³√18 / 3, ³√324 / 9, ³√987 / 4, 11 / ³√36 en 101/2.
Over den Kubiek en Het Parallelepipedum
§ 1. Een kubiek of teerling is een ligchaam, dat binnen zes gelijke kwadraten bevat is.
§ 2. De kubiek op de eenheid van de lengtemaat is de natuurlijke maat voor den inhoud der ligchamen.
§ 3. De inhoud van een kubiek wordt uitgedrukt door de derde magt van eene der zijden.
§ 4. Een parallelepipedum of balk is een ligchaam, dat tusschen zes vlakken begrepen is, welke twee aan twee evenwijdig loopen.
§ 5. Een parallelepipedum wordt regthoekig genoemd, wanneer al de zijvlakken regthoekig zijn. In het tegen gestelde geval is het parallelepipedum scheefhoekig.
§ 6. De inhoud van elk parallelepipedum is gelijk het grondvlak of de bazis, vermenigvuldigd met de hoogte.
§ 7. Gelijkvormige parallelepipedums zijn tot elkander in reden als de kubieken van de lijnen, welke op eene overeenkomstige wijze in dezelve getrokken worden.
§ 8. Regthoekige parallelepipedums, die op hetzelfde grondvlak staan, zijn tot elkander in reden als hunne hoogten.
Voorstellen
1. Een hoop steenen, lang 25, breed 20 en hoog 16 ellen, wil men in de gedaante van een kubiek leggen. Hoe lang moet men elke zijde nemen?
Antw. 20 Ellen.
2. Van een stuk hout, dat de gedaante heeft van een kubiek, is de lengte, de breedte en de hoogte 8 palmen; hoe veel kubieke palmen bevat dit stuk hout?
Antw. 512 Kubieke palmen.
3. Hoe veel oppervlakte heeft een ligchaam, in de gedaante van eenen kubiek, waarvan elke zijde 2 ellen 2 palmen lang en breed is?
Antw. 29 Vierk. ellen 4 vierk. palmen.
4. Van een stuk hout, hebbende de gedaante van een parallelepipedum, is de lengte 2 ellen 7 palmen 5 duimen, de breedte 1 el 7 palmen 2 duimen en de hoogte 3 ellen; men vraagt naar den inhoud van dit stuk hout.
Antw. 14 Kubieke ellen 190 kub. palmen.
5. Men vond bij meting, dat de lengte eener kamer 7 ellen 5 duimen, de breedte 4 ellen 7 duimen en de hoogte 3 ellen 7 palmen 8 strepen bedroeg; kunt gij daaruit berekenen hoe veel kubieke ellen lucht deze kamer kon insluiten?
Antw. 108 Kubieke ellen 395 kubieke palmen 498 kubieke duimen.
6. Hoe veel wissen brandhout bevat een hoop, die 30 ellen lang, 20 ellen breed en 15 ellen hoog is?
Antw. 9000 Wissen.
7. Men heeft twee hoopen steenen; de eene is lang 25, breed 20 en hoog 16 ellen; de andere heeft de gedaante van eenen kubiek, en bevat 8 maal zoo veel steenen; hoe lang is elke zijde van den tweeden hoop?
Antw. 40 Ellen.
8. Een steenhouwer heeft zes blokken wit marmer, houdende te zamen 279936 kubieke duimen; indien deze blokken de gedaante hebben van kubieken, hoe lang is dan elke zijde?
Antw. 36 Duimen.
9. Hoe veel kubieke palmen bedraagt de inhoud van een regthoekig parallelepipedum, waarvan de breedte bedraagt 4 palmen, de hoogte 3 palmen en de lengte 6 ellen?
Antw. 720 Kubieke palmen.
10. Een kubiek heeft eene oppervlakte van 96 vierkante ellen; men vraagt naar deszelfs inhoud.
Antw. 64 Kubieke ellen.
11. Hoe veel inhoud heeft een balk, welke 8 ellen 5 palmen lang, 6 palmen breed en 8 palmen dik is?
Antw. 4 Kubieke ellen 80 kubieke palmen.
12. Een timmerman heeft een stuk hout, in de gedaante van een regthoekig parallelepipedum, gekocht, tegen 4 gulden 36 cents de kubieke el; zoo dit hout 12 ellen 5 palmen lang 1 el 3 palmen breed en 9 palmen dik is, hoe veel moet hij dan daarvoor betalen?
Antw. 63 Gulden 76,5 cent.
13. Een bak heeft de lengte van 5 ellen 7 duimen, de breedte van 2 ellen 5 duimen en de diepte van 1 el 8 duimen; hoe veel kubieke ellen is de inhoud van dien bak?
Antw. 11 Kubieke ellen 224 kubieke palmen 980 kubieke duimen.
14. Er zal eene gracht gegraven worden van 350 ellen lang, gemiddeld 2 ellen breed en 1 el 5 palmen diep; hoe veel kubieke ellen aarde zal er verwerkt moeten worden?
Antw. 1050 Kubieke ellen.
15. Hoe groot is elke zijde van eenen kubiek, welke zoo veel inhoud heeft als drie kubieken, waarvan de zijden 1, 2 en 23/7 el lang zijn?
Antw. 26/7 El.
16. Een steenhouwer heeft eenen steen gekocht, tegen 2 gulden 17 cents de kubieke el; als deze steen 5 ellen 2 palmen lang, 4 ellen 3 palmen breed en 8 palmen dik is, hoe veel moet hij dan voor denzelven betalen?
Antw. 38 Gulden 81,696 cent.
17. De inhoud van eenen gemetselden put is 450 kubieke ellen; als deze put 10 ellen lang en 5 ellen diep is, welke breedte heeft dezelve dan?
Antw. 9 Ellen.
18. Tot het bouwen van eenen muur, die, de kalk medegerekend, 48 steenen in de hoogte heeft, zijn 9864 steenen gebezigd; als dezelve anderhalven steen dik is, hoe veel steenen liggen er dan in de lengte?
Antw. 137 Steenen.
19. Iemand heeft eenen balk, welke 16 ellen lang, 2 ellen breed en 1 el 5 palmen dik is; men vraagt naar deszelfs oppervlakte.
Antw. 118 Vierk. ellen.
20. Een steenhouwer heeft een blok wit marmer, houdende 27 kubieke palmen 648 kubieke duimen; de lengte staat tot de breedte als 2: 1; hoe lang en breed is dan deze blok, als de breedte gelijk aan de dikte is?
Antw. 4 Palmen 8 duimen lang en 2 palmen 4 duimen breed.
21. Men wil eene oppervlakte van 1000 ellen lang en 600 ellen breed door eenen muur afsluiten, en bestemt tot het bouwen van denzelven steenen van 30 duimen lang, 10 duimen breed en 5 duimen dik; zoo nu de muur, welke geheel op den grond van de af te sluiten oppervlakte moet staan, 2 ellen hoog en 5 palmen dik zal zijn, hoe veel steenen zullen er dan voor dien muur noodig zijn?
Antw. 2132000 Steenen.
22. Hoe groot is de zijde van eenen teerling, welks inhoud 3723 kubieke ellen 875 kubieke palmen bevat?
Antw. 15 Ellen 5 palmen.
23. Van eenen kubiek is de oppervlakte 3 vierkante ellen 84 vierkante palmen hoe groot is deszelfs inhoud?
Antw. 512 Kubieke palmen.
24. Een timmerman heeft eenen balk in de gedaante van een regthoekig parallelepipedum, gekocht voor 54 gulden; zoo deze balk eene lengte heeft van 7 ellen 5 palmen, overal even breed en dik is, en de kubieke palm 2 cents kost, hoe groot is dan deszelfs oppervlakte?
Antw. 18 Vierk. ellen 72 vierk. palmen.
25. Als een hoop turven van 5 in de lengte, breedte en hoogte 50 cents kost, hoe veel kost dan een hoop, die 50 turven in de lengte, breedte en hoogte heeft?
Antw. 500 Gulden.
26. In een houtmagazijn stonden drie stapels brandhout; de eerste bevatte 9 wissen 925 kubieke palmen 600 kubieke duimen, en was 5 ellen en 6 palmen lang en 8 palmen breed; de tweede hield in 26 wissen 622 kubieke palmen, en was 8 ellen 7 palmen lang en 1 el breed; de derde was 9 wissen 720 kubieke palmen groot, en had eene lengte van 6 ellen bij eene breedte van 1 el 5 palmen. Bereken eens hoe hoog deze houtstapels waren?
| Antw. | De | 1e. | 2 Ellen 2 palmen 2 duimen. |
| ″ | 2e. | 3 Ellen 6 duimen. | |
| ″ | 3e. | 1 El 8 duimen. |
27. Hoe lang en breed is elke zijde van eenen kubiek, die zoo veel inhoud heeft als drie andere kubieken, waarvan de zijden 8 ellen, 6 ellen en 1 el lang zijn?
Antw. 9 Ellen.
28. Een hoop steenen is 7 ellen 5 palmen lang, 6 ellen breed en 2 ellen 7 palmen hoog; elke steen heeft eene lengte van 2 palmen 5 duimen, eene breedte van 1 palm en eene dikte van 4 duimen 5 strepen; hoe veel steenen zijn er aan dien hoop?
Antw. 108000 Steenen.
29. Van eene blaauwe zerk, houdende 93 kubieke palmen 312 kubieke duimen, is de breedte gelijk aan 6 maal de dikte en 9 maal de dikte gelijk aan de lengte; men vraagt naar de lengte, breedte en dikte.
Antw. 1 El 8 duimen lang, 7 palmen 2 duimen breed en 1 palm 2 duimen dik.
30. Iemand heeft eenen bak, die 2 ellen 6 palmen lang, 1 el 4 palmen breed en 2 ellen diep is. Nu wil hij eenen anderen gelijkvormigen bak hebben, die tweemaal zoo groot zal wezen; hoe lang moeten deszelfs zijden zijn, wetende, dat gelijkvormige veelvlakkige ligchamen tot elkander in reden zijn, als de kuben van de lijnen, welke op eene overeenkomstige wijze in deze ligchamen getrokken zijn?
Antw. 3 Ellen 3 palmen nagenoeg lang, bijna 2 ellen 5 palmen 2 duimen diep en ruim 1 el 7 palmen 6 duimen breed.
31. Een steenbakker heeft op zijne plaats eenen hoop steenen; deze hoop bevat in de lengte 3 maal zooveel steenen als in de breedte, en twee maal zoo veel in de breedte als in de hoogte. Hoe veel steenen liggen er in de lengte, breedte en hoogte, elk afzonderlijk?
Antw. 270 Steenen in de lengte, 90 in de breedte en 45 in de hoogte.
32. Van eenen kubiek is elke ribbe 8 palmen; hoe lang zal de ribbe zijn van eenen anderen kubiek, die tweemaal zoo veel inhoud heeft?
Antw. 8 ³√2 = 10,07936 palm nagenoeg.
33. Iemand heeft eene kist, die even lang, breed en diep is; zoo de langste stok, dien men in deze kist passen kan, 1 palm 2 duimen is, welken inhoud heeft dan de kist?
Antw. 192 ³√2 = 332,5536 kub. duim. ruim.
34. Van eenen balk is de inhoud 108 kubieke ellen; hoe lang, breed en dik is deze balk, als de dikte en breedte elk 1/4 der lengte bedraagt?
Antw. 12 Ellen lang en 3 ellen breed en dik.
35. Een bakker wil eenen langwerpig vierkanten bak laten maken, waarin hij 11/2 last tarwe kan bergen, zijnde aan de lengte van 2 ellen en aan de breedte van 1 el 5 palmen binnenwerks gehouden. Men vraagt hoe veel palmen deze bak tot hoogte zal hebben.
Antw. 15 Palmen.
36. Een turfboer heeft in zijne schuur gestapeld 34499520 turven, in diervoege, dat er 1 turf in de hoogte ligt tegen 3 in de breedte en 5 in de lengte, hoe veel turven liggen er in de hoogte, breedte en lengte, elk afzonderlijk?
Antw. 132 In de hoogte, 396 in de breedte en 660 in de lengte.
37. Indien in een schip van 100 voeten lang kan geborgen worden 150 lasten, hoe veel zal dan een ander schip kunnen laden, in alle deelen op gelijke wijze gebouwd, dat 60 voeten lang is?
Antw. 322/5 Last.
38. In eenen tuin staat een vierkante bak; dezelve heeft de gedaante van een parallelepipedum en is lang 20, breed 8 en hoog 6 palmen. Zoo men dezen bak aan een der einden opligt, zoodat daardoor het water voor een gedeelte er uitloopt, en men bevindt, dat er nog 640 kannen zijn in gebleven, is de vraag, hoe hoog dezelve aan het eene einde van den grond is opgeligt.
Antw. 3,9223 Palm.
39. Het grondvlak van zekeren kubiek is juist 150 vierk. ellen groot. Men vraagt naar het aantal mudden graan, welke deze kubiek kan bevatten, indien men denzelven met koren kon vullen.
Antw. 18375 Mudden.
40. Een bak, in de gedaante van eenen kubiek, had eene oppervlakte aan de binnenzijde van 216 vierkante palmen. Men vraagt naar de lengte van de langste regte lijn, welke men in denzelven kan besluiten.
Antw. 10,4 Palm.
Over de Prismaas en Piramiden
§ 1. Eene prisma (fig. 17) is een veelvlakkig ligchaam, waarvan het bovenvlak evenwijdig met het benedenvlak loopt, en waarvan al de opstaande ribben onderling evenwijdig zijn.
§ 2. De prismaas worden driehoekig, vierhoekig, enz. genoemd naar het aantal zijden in het grondvlak.
§ 3. Door de hoogte van eene prisma verstaat men den loodregten afstand van het boven-tot het benedenvlak.
§ 4. Eene prisma is regthoekig, wanneer de opstaande zijden loodregt op het grondvlak staan. In het tegenovergestelde geval is de prisma scheefhoekig.
§ 5. De inhoud van eene prisma is gelijk aan de bazis, vermenigvuldigd met de hoogte.
§ 6. Eene piramide (fig. 18) is een ligchaam, waarvan het grondvlak een veelhoek is, terwijl al de overige zijden driehoeken zijn, die een gemeenschappelijk toppunt hebben.
§ 7. De piramiden worden driehoekig, vierhoekig, enz. genoemd, naar mate van het aantal zijden in het grondvlak.
§ 8. De loodregte hoogte eener piramide is de perpendiculair, die uit het toppunt op het grondvlak valt.
§ 9. Elke piramide is gelijk aan het grondvlak, vermenigvuldigd met een derde van de hoogte.
§ 10. De oppervlakte van eene regelmatige piramide is gelijk den omtrek van het grondvlak, vermenigvuldigd met de halve loodlijn, welke uit den top op eene der zijden van het grondvlak valt, en dit product vermeerderd met den inhoud van het grondvlak.
§ 11. Eene afgeknotte piramide (fig. 19) is hetgeen er overblijft, wanneer van eene piramide een stuk wordt afgesneden door een vlak, evenwijdig met het grondvlak. De afgesnedene piramide is met de geheele piramide gelijkvormig.
§ 12. De inhoud van eene afgeknotte piramide is gelijk aan de som van het grondvlak, het bovenvlak en een vlak, dat midden-evenredig is tusschen deze beide vlakken, en deze som vermenigvuldigd met een derde van de hoogte.
Voorstellen
1. Eene gelijkzijdige driehoekige prisma is 14 ellen lang en elke zijde 4 ellen breed; hoe veel kubieke palmen is derzelver inhoud?
Antw. 56 ²√3 Kubieke palmen.
2. Van eene gelijkzijdige driehoekige prisma is elke zijde van het grondvlak 2 duimen 4 strepen en de hoogte van elke prisma 1 palm 8 duimen; hoe veel is derzelver ligchamelijke inhoud?
Antw. Bijna 44 kubieke duimen 928 kubieke strepen.
3. Van eene prisma is het grondvlak een regthoekige driehoek, waarvan de regthoekszijden 2 palmen 8 duimen en 4 palmen 5 duimen lang zijn; zoo de hoogte op 5 ellen gemeten wordt, hoe veel kubieke palmen bevat dan dezelve?
Antw. 315 Kubieke palmen.
4. Men heeft eenen balk, welke 5 ellen lang, 5 palmen 2 duimen breed en 3 palmen 9 duimen dik is, overhoeks in de lengte doorgezaagd, zoodat elke helft eene prisma of kantige zuil vertoont, waarvan het grondvlak een regthoekige driehoek is; hoe veel kubieke palmen is de inhoud van elke prisma?
Antw. 507 Kubieke palmen.
5. Iemand heeft een stuk hout, in de gedaante van eene driehoekige prisma, van 2 duimen hoogte; zoo de zijden van het grondvlak 1 duim 3 strepen, 1 duim 4 strepen en 1 duim 5 strepen zijn, welke is dan de oppervlakte van dat stuk hout?
Antw. 10 Vierk, duimen 8 vierk. strepen.
6. Hoe lang is eene driehoekige prisma van 5 kubieke palmen 544 kubieke duimen inhoud, als de zijden van het grondvlak 2 palmen 6 duimen, 2 palmen en 8 duimen en 3 palmen zijn?
Antw. 1 Palm 6 duimen 5 strepen.
7. Als de zijden van het grondvlak eener driehoekige prisma 5 ellen 2 palmen, 5 ellen 6 palmen en 6 ellen lang zijn en de hoogte 20 ellen is, hoe veel is dan de geheele inhoud van de prisma?
Antw. 268 Kubieke ellen 800 kub. palmen.
8. Van een gelijkzijdige zeskante prisma is elke zijde 4 duimen lang en de hoogte is 1 palm 5 duimen; hoe veel is de oppervlakte?
Antw. 443 Vierkante duimen 13,8 vierkante strepen.
9. Men vraagt naar den inhoud van eene prisma, welker loodregte hoogte 3 ellen 6 palmen is, en waarvan het grondvlak een regelmatige zeshoek is, van welke elke zijde 1 el 4 palmen lengte heeft?
Antw. 10584 ²√3 Kubieke palmen.
10. Van eene zeskante zuil is elke zijde van het grondvlak 2 ellen en de hoogte 2 roeden; men vraagt naar den inhoud en de oppervlakte van de opstaande vlakken?
Antw. De inhoud 120 ²√3 = 207 kub. ellen 842 kub. palmen; de oppervlakte 240 v. ellen.
11. Van eene vierkante piramide is elke zijde van het grondvlak 10 palmen en de loodregte hoogte 1 el 2 palmen; men vraagt naar derzelver oppervlakte.
Antw. 3 Vierkante ellen 40 vierkante palmen.
12. Een timmerman heeft een stuk hout in de gedaante van eene driehoekige piramide, waarvan elke zijde van het grondvlak 6 palmen en de hoogte 2 ellen 4 palmen is; men vraagt naar den inhoud.
Antw. 72 ²√3 Kubieke palmen.
13. Van eene gelijkzijdige vierhoekige piramide doet elke zijde van het grondvlak 2 palmen en elke opstaande ribbe 2 ellen 7 palmen; men vraagt naar de loodregte hoogte en den inhoud.
Antw. De hoogte 2 ellen 5 palmen 6 duimen ruim; de inhoud 1 kubieke el 230 kubieke palmen 336 kubieke duimen.
14. De inhoud van eene driehoekige piramide is 1 kubieke el 680 kubieke palmen; als de zijden van het grondvlak 2 ellen 6 palmen, 2 ellen 8 palmen en 3 ellen lang zijn, welke is dan de loodregte hoogte?
Antw. 1 El 5 palmen.
15. Het grondvlak van eene vierhoekige piramide is een regthoek, waarvan twee aan elkander sluitende zijden 1 palm 5 duimen en 1 palm 2 duimen lang zijn; als de loodregte hoogte van deze piramide 6 palmen is, welke is dan derzelver inhoud?
Antw. 3 Kub. palmen 600 kub. duimen.
16. De inhoud van eene regelmatige vierhoekige piramide is 192 kubieke ellen, en de hoogte 12 ellen; als de zijden van het grondvlak tot elkander in reden staan als 1: 11/3, hoe lang is dan eene lijn, die van den hoek des grondvlaks tot aan den top gaat?
Antw. 13 Ellen.
17. Het grondvlak van eene piramide, welke 8 palmen 4 duimen hoog is, vormt eenen regelmatigen zeshoek, waarvan elke zijde 1 palm 4 duimen lang is, men vraagt naar derzelver inhoud.
Antw. 8232 ²√6 Kubieke duimen.
18. Van eene afgeknotte vierkante piramide is de hoogte 5 ellen, elke zijde van het grondvlak 1 el en elke zijde van het bovenvlak 7 palmen 5 duimen; men vraagt naar den inhoud.
Antw. 3 Kubieke ellen 854 kubieke palmen 160 kubieke duimen.
19. Men heeft een stuk marmer, lang 4 ellen 5 palmen en dik aan het eene einde 2 en 2 en aan het andere 3 en 3 ellen; hoe veel is de inhoud?
Antw. 28 Kubieke ellen 500 kub. palmen.
20. De hoogte van eene afgeknotte driehoekige piramide is 2 ellen 4 palmen, elke zijde van het bovenvlak 1 el 2 palmen en elke zijde van het grondvlak 1 el 8 palmen; hoe groot is de inhoud van het afgesneden stuk?
Antw. 576 ²√3 = 997661 Kubieke palm.
21. Van eene ongelijkzijdige vierhoekige piramide zijn de zijden om het grondvlak 12 en 9 ellen en de loodregte hoogte is 36 ellen; op 12 ellen hoogte wordt van dezelve een stuk afgesneden, hetwelk met de geheele piramide gelijkvormig is; men vraagt naar den inhoud van elk stuk.
Antw. Het bovenstuk 384 en het onderstuk 912 kubieke ellen.
22. Het grondvlak van eene afgeknotte piramide is 10 vierkante palmen 89 vierkante duimen, die van het bovenvlak 4 vierkante palmen 41 vierkante duimen en de hoogte 5 palmen; men vraagt naar de hoogte van de geheele piramide en het afgesneden stuk.
Antw. De hoogte van de piramide 1 el 3 palmen 7 duimen 5 strepen, en die van het afgesneden stuk 8 palmen 7 duimen 5 strepen.
23. Een balk is lang 60 palmen, dik op het eene einde 2 palmen vierkant en op het andere einde 1 palm vierkant; vrage waar het deelpunt zal moeten vallen, om aan beide zijden evenveel hout te hebben.
Antw. 39,05 Palm van boven.
24. Hoe veel ponden lood, van dertig ponden in de vierkante el, zijn er noodig tot het beleggen eener regtstandige vierzijdige piramide, van welke iedere zijde des grondvlaks 1,5 el lang en de hoogte 6 ellen is, de bazis niet medegerekend?
Antw. 544,203 Pond.
25. Vind den inhoud van eene piramide, welker vierhoekig grondvlak groot is 30 * 30 = 900 vierkante ellen, en welker zijvlak een gelijkzijdige driehoek verbeeldt.
Antw. 6363 Kubieke ellen.
26. Een timmerman had een stuk hout, in de gedaante van eene vierkante piramide, waarvan het grondvlak 225 vierkante palmen groot is, en hetwelk eene lengte had van 16 ellen. Hij wilde het in twee stukken zagen, zoodat ieder stuk evenveel hout bevatte; hoe lang moest ieder stuk wezen?
Antw. Het eene stuk 3,3 el en het andere 12,7 el.
Het Berekenen van Ligchamen, Toegepast Op Dijken, Grachten, Enz
§ 1. Bij het berekenen van den inhoud der dijken en kanalen komen eenige benamingen te pas, welke wij hier kortelijk zullen verklaren.
§ 2. Als fig. 20 eenen dijk voorstelt, is AB de aanleg of de breedte van het benedenvlak.
§ 3. DCBI wordt de kruin des dijks genoemd, zijnde hiervan CD de breedte en CH de lengte.
§ 4. De perpendiculaire afstand CF tusschen het boven-en benedenvlak des dijks heet hoogte.
§ 5 De schuinsche afwijking van de hoogte, zie AE en FB, wordt dorsering genoemd.
§ 6. Men zegt, dat de dorsering el op el is, als op elke el hoogte ook eene el afwijking gemeten wordt.
§ 7. Door het profil of de doorsnede verstaat men het vlak ABCD, hetwelk zich vertoont, als men den dijk loodregt afgraaft.
§ 8. Keert men de figuur in gedachten om, dan stelt dezelve eene gracht voor, waarvan alsdan AB den naam van aanleg behoudt, doch DCHI dien van bodem en CF dien van diepte draagt.
§ 9. De inhoud van eenen dijk of van eene gracht, welks vlakken van doorsnijding loodregt op de lengte overal even groot zijn, wordt gevonden door het profil met de lengte van den dijk of de gracht te vermenigvuldigen.
Voorstellen
1. Eene gracht, die 28 ellen lang en 2 ellen diep is, heeft in den aanleg eene breedte van 3 ellen 5 palmen en in den bodem van 1 el 5 palmen. Hoe veel kubieke ellen aarde heeft men bij het graven van deze gracht moeten verwerken?
Antw. 140 Kubieke ellen.
2. Men wil eenig land bedijken, en bevindt, dat de dijk 360 ellen lang moet wezen; zoo nu deszelfs aanleg 18, de hoogte 6 en de kruinsbreedte 7 ellen moet zijn, hoe veel kubieke ellen aarde zijn er dan tot het daarstellen van dezen dijk noodig?
Antw. 27000 Kubieke ellen.
3. Om de benoodigde aarde voor dezen dijk te verkrijgen, wil men langs denzelven eene gracht graven van gelijke lengte, welke van boven 40 en van onder 30 ellen moet zijn; indien men nu vooronderstelt, dat de aarde 1/5 indroogt, hoe diep zal dan de gracht moeten wezen?
Antw. 2 Ellen 6 palm. 7 duim 9 strep. ruim.
4. Van eenen dijk, welke 120 roeden lang is, is de loodregte hoogte 6 ellen en de breedte der kruin 5 ellen; aan den eenen kant van den dijk heeft men eene dorsering van 5 palmen en aan den anderen kant van 3 palmen op elke el. Hoe veel kubieke ellen aarde bevat deze dijk?
Antw. 5328 Kubieke ellen aarde.
5. Een dijk is 500 ellen lang, de loodregte hoogte is 6 ellen en de aanleg 40 ellen; als nu de buiten-dorsering op elke el hoogte 4 ellen aanleg en de binnen-dorsering op gelijke hoogte 2 ellen aanleg heeft, hoe veel vierkante ellen is dan het profil, en hoe veel kubieke ellen aarde bevat de dijk?
Antw. 132 Vierkante roeden het profil, 660 Kubieke ellen aarde.
6. Er zal een dijk gemaakt worden van 37 roeden 5 ellen lang, van 10 ellen hoog, en waarvan de kruinsbreedte 3 ellen moet zijn; als de binnen-dorsering 1/4 el en de buiten-dorsering 1/2 el op elke el is, hoe veel kubieke ellen aarde zal er dan tot dezen dijk noodig zijn?
Antw. 25 Kubieke roeden 312 kubieke ellen 500 kubieke palmen.
7. Om 330 kubieke roeden aarde te verkrijgen, graaft men eene gracht van 500 ellen lang, boven wijd 24 ellen en diep 3 ellen 5 palmen; hoe breed is de bodem van deze gracht, als men 1/6 voor het indroogen rekent?
Antw. 20 Ellen.
8. Zekere dijk heeft eene lengte van 6300 nederlandsche ellen; men vraagt hoe veel kubieke ellen dezelve inhoudt, als de kruin 2 ellen, de hoogte 2 ellen, de binnen-dorsering 12 op 1 en de buiten-dorsering 8 op 1 is?
Antw. 277200 Kubieke ellen.
9. Een dijk is 60 roeden 5 ellen lang, breed van boven 4 ellen 2 palmen en hoog 3 ellen 4 palmen; deszelfs buiten-dorsering is 3 op 1, en de binnen-dorsering 6 op 1. Men vraagt hoe wijd eene gracht moet zijn, welke zoo lang is als de dijk, eene diepte heeft van 2 ellen, en welker dorsering 1 op 1 is, om daaruit den dijk op te werken.
Antw. 35 Ellen 1 palm 5 duimen voor de wijdte van boven en 31 ellen 1 palm 5 duimen voor die van onderen.
10. Men wil om een driehoekig stuk land, welks zijden 130, 140 en 150 ellen lang zijn, eene sloot graven, wijd 2 ellen en diep 1,5 el en dan de uitgegravene aarde over het overige land brengen. Vrage hoe veel het land daardoor verhoogd zal worden.
Antw. 0,094 El nagenoeg.
11. De lengte van eenen dijk is 1483,392 el. Gesteld nu, dat zij overal 9 ellen hoog en de kruinsbreedte 5 ellen is, alsmede de binnen-dorsering 1/3 en de buiten-dorsering 1/2 el op elke el, hoe veel kubieke ellen aarde heeft men dan voor dezen dijk noodig gehad?
Antw. 116817,120 Kubieke ellen.
12. Om een stuk land, dat 160 ellen lang en 120 ellen breed is, wordt eene sloot gegraven van 1 el 6 palmen diep, wijd van boven 2 ellen en in den bodem 1 el 2 palmen. Men wil met de uitgegravene aarde het land overal ter gelijke dikte verhoogen; mee vraagt naar die verhooging.
Antw. 0,742/3 Palm.
13. Tusschen twee plaatsen A en B, welke 5000 ellen van elkander liggen, wenscht men eenen dijk te maken, terwijl de benoodigde aarde uit eene gracht, welke langs denzelven moet komen, zal gevonden worden. Indien nu de aanleg des dijks 10 ellen, de loodregte hoogte 4 ellen, de dorsering aan de beide kanten 2 ellen is, vraagt men hoe veel aarde er verwerkt moet worden, en hoe diep de gracht zal zijn, wanneer de aanleg derzelve 7 ellen en de bodem 3 ellen is.
Antw. 654 El.
Over de Cilinders en Kegels
§ 1. Een cilinder of rol (fig. 21) is een ligchaam, welks grond-en bovenvlak evenwijdige en gelijke cirkels zijn, en welker vlakken van doorsnijding, evenwijdig aan de bazis, ook alle even groote cirkels zijn.
§ 2. De ronde oppervlakte van eenen cilinder is gelijk aan den omtrek, vermenigvuldigd met de hoogte.
§ 3. De inhoud van eenen cilinder is gelijk aan het grondvlak, vermenigvuldigd met de hoogte.
§ 4. De ronde oppervlakten van gelijkvormige cilinders zijn tot elkander in reden als de vierkanten en de inhouden als de kuben der gelijkstandige zijden.
§ 5. Een kegel of conus (fig. 22) is een ligchaam, welks grondvlak en vlakken van doorsnijding, evenwijdig aan het grondvlak, hunne middelpunten in eene regte lijn zijnde, van het grondvlak af allengs kleiner worden, en boven in een punt tot niet uitloopen.
§ 6. Het ronde oppervlak van eenen kegel is gelijk het halve product van den omtrek der bazis en de schuinsche zijde.
§ 7. De ronde oppervlakte van eenen afgeknotten kegel (fig. 23) is gelijk de halve som der omtrekken van het grond-en bovenvlak, vermenigvuldigd met de schuinsche zijde.
§ 8. De inhoud van eenen kegel is gelijk aan zijn grondvlak, vermenigvuldigd met een derde van de loodregte hoogte.
§ 9. De inhoud van eenen afgeknotten kegel is gelijk aan de som van het grondvlak, het bovenvlak en een vlak, dat midden evenredig is tusschen deze beide vlakken en deze som vermenigvuldigd met een derde van de hoogte.
§ 10. De ronde oppervlakten van gelijkvormige kegels zijn tot elkander in reden als de vierkanten der schuinsche zijden, en de inhouden dezer kegels als de kuben der gelijkstandige zijden.
Voorstellen
1. Er is een cilindervormig stuk hout, waarvan het grondvlak eenen omtrek heeft van 1 el 5 palmen 7 duimen, en dat 4 ellen hoog is; men vraagt naar de ronde oppervlakte van hetzelve.
Antw. 6 Vierk. ellen 28 vierk. palmen.
2. Van eenen cilinder is de diameter van het grondvlak 5 palmen en de hoogte 3 ellen 2 palmen 4 duimen; hoe groot is de ronde oppervlakte van denzelven?
Antw. 5 Vierk. ellen 8 vierk. palmen 68 vierk. duimen.
3. Hoe veel is de oppervlakte van eenen cilinder, het grond-en bovenvlak medegerekend, waarvan de diameter van het grondvlak 1 palm en de hoogte 7 ellen 8 palmen 4 duimen is?
Antw. 2 Vierk. ellen 47 vierk. palmen 74 vierk. duimen 60 vierk. strepen.
4. De ronde oppervlakte van eenen cilinder is 4 vierk. ellen 92 vierk. palmen 35 vierk. duimen 20 vierk. strepen; als de middellijn van het grondvlak 1 palm is, welke hoogte heeft dan de cilinder?
Antw. 15 Ellen 6 palmen 8 duimen.
5. De ronde oppervlakte van eenen molensteen is 1 vierk. el 41 vierk. palmen 30 vierk. duimen; zoo nu de dikte 3 palmen is, hoe lang is dan deszelfs diameter?
Antw. 1 El 5 palmen.
6. Indien de hoogte van eenen cilinder 6 ellen 3 palmen 8 duimen is, en de middellijn van het grondvlak eene lengte heeft van 2 palmen 5 duimen, hoe veel ligchamelijken inhoud bevat dezelve dan?
Antw. 313 Kub. palmen 18 kub. duimen 750 kub. strepen.
7. Een ronde pilaar is in omtrek 6 ellen 2 palmen 8 duimen, en deszelfs hoogte is viermaal grooter dan zijne middellijn; hoe veel is de kubieke inhoud?
Antw. 31 Kub. ellen 400 kub. palmen.
8. Van eenen kegel is de omtrek van het grondvlak 7 palmen 8 duimen 5 strepen en de schuinsche zijde 2 ellen 5 palmen 6 duimen 8 strepen; men vraagt naar de ronde oppervlakte.
Antw. 1 Vierkante el 79 vierkante duimen 40 vierkante strepen.
9. Van eenen kegel is de loodregte hoogte 4 ellen en de diameter van het grondvlak 6 ellen; men vraagt naar de ronde oppervlakte.
Antw. 47 Vierk. ellen 10 vierk. palmen.
10. De schuinsche zijde van eenen afgeknotten kegel is 6 palmen, de diameter van het bovenvlak 1 palm en die van het grondvlak 4 palmen; hoe veel vierkante palmen lood is er noodig om de ronde oppervlakte van dit ligchaam te bekleeden?
Antw. 94 Vierk. palmen 20 vierk. duimen.
11. Van eenen afgeknotten kegel is de loodregte hoogte 4 ellen, de diameter van het bovenvlak 5 ellen en die van het grondvlak 8 ellen; men vraagt naar de ronde oppervlakte.
Antw. 87 Vierk. ellen 15 vierk. palmen.
12. Hoe veel bedraagt de kubieke inhoud van eenen kegel, waarvan de hoogte 3 ellen 5 palmen 7 duimen 8 strepen en de omtrek van het grondvlak 6 palmen 2 duimen 8 strepen is?
Antw. 37 Kub. palmen 449 kub. duimen 733 kub. strepen.
13. Een graanhandelaar heeft eene partij graan liggen aan eenen hoop, die de gedaante heeft van eenen kegel, welks loodregte hoogte 2 ellen 1 palm is en die van onder 11 ellen diameter heeft: hoe veel graan bevat de hoop?
Antw. 22 Lasten 4 mudden 8 schepels 9 koppen 5 maatjes.
14. De inhoud van eenen kegel is 9 kub. ellen 420 kub. palmen en deszelfs loodregte hoogte 9 ellen; men vraagt naar de middellijn van het grondvlak.
Antw. 2 Ellen.
15. Hoe veel kannen water kan eene kuip bevatten, die 1 el 2 palmen hoog, van boven 1 el 4 palmen en van onder 1 el 2 palmen wijd is?
Antw. 1595 Kannen 1 maatje 2 vingerhoeden.
16. Van eenen afgeknotten kegel is de middellijn van het bovenvlak 6 ellen, die van het grondvlak 8 ellen en de perpendiculaire hoogte 10 ellen; hoe veel is deszelfs inhoud?
Antw. 387 Kub. ellen 267 kub. palmen.
17. Een cilinder, die 8 ellen 4 palmen 5 duimen hoog is, heeft eene ronde oppervlakte van 53 vierk. ellen 6 vierk. palmen 60 vierk. duimen; men vraagt naar de ronde oppervlakte van eenen gelijkvormigen cilinder, waarvan de hoogte 16 ellen 9 palmen is.
Antw. 212 Vierk. ellen 26 vierk. palmen 40 vierk. duimen.
18. Het grondvlak van eenen cilinder is 3 vierk. ellen 14 vierk, palmen en deszelfs hoogte 10 ellen; welke is de inhoud van eenen anderen gelijkvormigen cilinder, die 20 ellen hoog is?
Antw. 251 Kub. ellen 200 kub. palmen.
19. De middellijn van het grondvlak eens kegels is 6 ellen en deszelfs loodregte hoogte 4 ellen; hoe groot is de ronde oppervlakte van eenen anderen gelijkvormigen kegel, waarvan de schuinsche zijde 10 ellen is?
Antw. 188 Vierk. ellen 40 vierk. palmen.
20. Er zijn twee gelijkvormige kegels; de eerste heeft eene loodregte hoogte van 3 ellen 5 palmen 7 duimen 8 strepen en eenen inhoud van 112 kubieke palmen 349 kubieke duimen 200 kubieke strepen; als de laatste tweemaal zoo hoog is, hoe groot is dan deszelfs inhoud?
Antw. 898 Kub. palmen 793 kub. duimen 600 kub. strepen.
21. Men wil eene oude, ronde maat, die van binnen 7 duimen breed en 3 palmen hoog is, in de hoogte zoo veel verminderen, dat dezelve juist eene ned. kan inhoude; hoe veel moet er afgenomen worden?
Antw. 0,4 Palm.
22. Een smid koopt eenen slijpsteen van 8 palmen middellijn voor 12 gulden; na denzelven eenige jaren gebruikt te hebben, is deszelfs middellijn slechts 3 palmen. Nu wil hij denzelven verkoopen, en wel naar reden van den inkoop. Men vraagt hoe veel hij er voor ontvangen moet.
Antw. 1,6875 Gulden.
23. Een Jood had eenen zak vol koren gestolen, die 7 palmen lang en 6 palmen breed was. Voor den regter geroepen, zeide hij den zak niet meer te hebben; doch hij wilde drie zakken met koren terug geven, die ook 7 palmen lang en 2 palmen breed waren. Zocht de Jood hier ook te schagcheren?
Antw. De Jood wilde slechts 1/3 van het gestolene terug geven.
24. Hoe zwaar weegt een molensteen, welks straal 1,25 el, de dikte 40 duimen en in welks midden een vierkant gat is van 20 duimen iedere zijde, zoo de kubieke ned. palm 2,49 pond weegt?
Antw. 4836,785 Pond.
25. Zeker slagter heeft een eikenen hakblok, in den vorm van eenen cilinder; de middellijn der grondvlakte is gelijk aan de hoogte van denzelven, namelijk 6 palmen. Hoe zwaar weegt deze blok, als de soortgelijke zwaarte van het eikenhout 0,93 pond is?
Antw. 157,7711 Pond ruim.
26. Hoe veel water kan er in eene ronde kuip, waarvan de duigen binnenwerks 3,9 palm hoog zijn, doch welker perpendiculaire hoogte slechts 3,6 palm is, terwijl de lijn, welke van den kant des bodems tot den overstaanden bovenkant getrokken wordt, 6 palmen doet?
Antw. 67,23 Kan.
Over den Bol
§ 1. Door eenen bol verstaat men een ligchaam, dat binnen een vlak besloten ligt, welks punten overal even ver van zeker punt, binnen hetzelve liggende, afstaan. Wanneer een halve cirkel om de middellijn als as wentelt, dan doorloopt de omtrek het oppervlak van eenen bol.
§ 2. De uiteinden van de as heeten polen van den bol.
§ 3. Elke regte lijn, welke, door het middelpunt gaande, ter wederzijden aan de oppervlakten eindigt, wordt middellijn of diameter genoemd.
§ 4. Men onderscheidt de cirkels, op het oppervlak van eenen bol getrokken, in groote en kleine cirkels; de groote cirkels hebben een en hetzelfde middelpunt met den bol gemeen; de overige zijn kleine cirkels.
§ 5. Het geheele oppervlak van eenen bol is gelijk aan de middellijn, vermenigvuldigd met den omtrek van den grooten cirkel. Ook is dit oppervlak gelijk aan viermaal den inhoud van den grooten cirkel des bols.
§ 6. Het oppervlak van een bolvormig segment is gelijk aan den omtrek van den grooten cirkel des bols, vermenigvuldigd met de hoogte van dit segment.
§ 7. De inhoud van eenen bol is gelijk aan zijn oppervlak, vermenigvuldigd met een derde van den straal, of gelijk den inhoud van zijnen grooten cirkel, vermenigvuldigd met twee derde van de middellijn.
§ 8. De inhoud van een bolvormig segment is gelijk den halven cilinder, die met dit segment dezelfde bazis en hoogte heeft, opgeteld met den inhoud van eenen bol, die de hoogte des segments tot middellijn heeft. De inhoud van een bolvormig segment wordt ook gevonden, wanneer men de tweede magt van de hoogte door 3 deelt, het komende quotiënt met het getal 3,1415926 vermenigvuldigt en dit product weder vermenigvuldigt met het verschil van driemaal den radius des cirkels en de hoogte van het segment.
§ 9. De inhoud van eenen bolvormigen sector is gelijk aan het ronde oppervlak van het bolvormig segment, waarop de sector staat, vermenigvuldigd met één derde van den straal des bols.
§ 10. De oppervlakte der bollen zijn tot elkander in reden als de vierkanten der stralen of middellijnen.
§ 11. De inhouden der bollen zijn tot elkander in reden als de kuben van de stralen of middellijnen.
Voorstellen
1. De middellijn van eenen bol is 9 duimen; hoe groot is deszelfs oppervlakte?
Antw. 2 Vierk. palmen 54 vierk. duimen 34 vierk. strepen.
2. Hoe veel bedraagt de oppervlakte van eenen bol, welks middellijn 5 palmen is?
Antw. 78 Vierk. palmen 50 vierk. duimen.
3. Als men de middellijn der aarde stelt op 1720 en derzelver omtrek op 5400 duitsche of geographische mijlen, hoe groot is dan de oppervlakte?
Antw. 9288000 Vierkante duitsche mijlen.
4. Van eenen bol is de middellijn 7 duimen; men vraagt naar deszelfs inhoud.
Antw. 179 Kub. duim. 503 kub. strep. ruim.
5. Hoe groot is de ligchamelijke inhoud der aarde, als de middellijn weder op 1720 en de omtrek op 5400 duitsche mijlen gesteld wordt?
Antw. 2662560000 Kubieke mijlen.
6. Men vraagt naar den inhoud van eenen bol, welks middellijn 100 is.
Antw. 523333,3...
7. Iemand heeft een stuk lood, in de gedaante van eenen balk, van 1 el 5 palmen lang, 8 palmen breed en 6 palmen 5 duimen hoog; hiervan wil hij kogels laten gieten van twee duimen middellijn: hoe veel van die kogels kan hij uit dit stuk lood verkrijgen?
Antw. Ruim 186305 kogels.
8. Iemand heeft twee kogels, een’ van twee en een’ van 11 duimen middellijn; hoe veel maal is de kubieke inhoud van den eersten grooter dan die van den laatsten?
Antw. 1653/8.
9. Men heeft uit eene zekere stof twee kogels laten vervaardigen, een’ van zes en een’ van acht duimen middellijn; als de kleinste twee ponden weegt, hoe zwaar is dan de andere?
Antw. 420/27 Pond.
10. Hoe groot is de oppervlakte van een bolvormig segment, als de hoogte 5 en de straal des bols 10 duimen is?
Antw. 314 Vierk. duimen.
11. Men vraagt naar de oppervlakte van een bolvormig segment, als de straal van het grondvlak 9 en de straal des bols 15 palmen is.
Antw. 2 Vierk. ellen 82 vierk. palmen 60 vierk. duimen.
12. Als de straal van den grootsten cirkel eens bols 3 palmen 5 duimen is, vraagt men naar den inhoud van een bolvormig segment, hetwelk 3 palmen hoog is.
Antw. 70 Kub. palmen 685 kub. duimen 833 kub. strepen ruim.
13. Men vraagt naar den inhoud van eenen bolvormigen sector, als de straal van deszelfs grootsten cirkel drie en de straal des bols vijf is.
Antw. 52,3.
14. Men heeft vier looden kogels, welker zwaarten 8, 27, 64 en 125 nederlandsche looden zijn, en vraagt naar het gewigt van eenen anderen kogel, welke over zijne dikte gelijk is aan de dikte van de vier genoemde kogels te samen genomen.
Antw. 2744 Looden.
15. Hoe groot is het oppervlak van een bolvormig segment, als de straal van het grondvlak 7 en de straal van den bol 9 palmen lang is?
Antw. 189,098585 Vierk. palmen.
16. Hoe veel water kan een regenbak bevatten, die 4 ellen lang, 2 ellen breed en die met den boog, welke een halven cirkel uitmaakt, 2,5 el hoog is, als de boog met zijne uiteinden op de kortste zijmuren rust?
Antw. 165,6 vat.
17. De diameter van eenen kogel is 42 duimen; zeg mij dien van eenen anderen, welks inhoud tweemaal zoo groot is.
Antw. 52,9 El ruim.
18. Er zijn twee kogels vervaardigd uit dezelfde stof; de kleinste heeft 8 duimen middellijn en weegt 6 ponden; de grootste heeft 12 duimen middellijn; hoe zwaar is deze?
Antw. 201/4 Pond.
Gemengde Voorstellen
1. Men wil een vierkant stuk land, waarvan de diagonaal 17 roeden lang is, met boomen beplanten, en deze in elke rij 2 ellen 4 palmen van elkander plaatsen, terwijl de rijen mede 2 ellen 4 palmen van elkander en de boomen even zoo ver van de zijden des lands verwijderd moeten zijn, zoodat er rondom eene strook lands vrij blijve. Men vraagt hoe veel boomen daartoe noodig zijn.
Antw. 2401 boomen.
2. In eene kamer, die 16 rijnlandsche voeten hoog, 24 voeten lang en 20 voeten breed is, zijn twee ramen van 10 voeten hoog en 6 voeten breed, benevens een schoorsteen van 5 voeten breed; de wanden van deze kamer wil men behangen met doek van 17/8 amsterd. el breed, waarvan de nederl. vierkante el 61/4 stuiver kost. Als de amsterd. el op 263/4 duim rijnl. gerekend wordt, hoe veel zal dan het benoodigde doek kosten?
Antw. 37,21 Gulden bijna.
3. Hoe lang is elke zijde van eenen gelijkzijdigen driehoek, waarvan de inhoud 6 bunders bedraagt?
Antw. 37,2 Roede nagenoeg.
4. Hoe ver is de top eens torens, welke 40 ellen hoog is, van den rand eens meers verwijderd, indien de voet van den toren 30 ellen van hetzelve afstaat?
Antw. 50 Ellen.
5. Iemand heeft een stuk land, dat 64 roeden langer dan breed is. Hij verkoopt hiervan aan A. het 1/4 gedeelte en aan B. 1/5 van de rest. Na dezen laatsten verkoop bevindt hij, dat zijn land even lang als breed is, Hoe veel vierkante roeden besloeg zijn eerste land?
Antw. 15360 Vierk. roeden.
6. Van eenen regthoek is de inhoud 240 vierkante roeden, en dezelve is 8 voeten langer dan breed; men vraagt naar den diagonaal.
Antw. 263 Voeten nagenoeg.
7. Iemand heeft een stuk land, in de gedaante van eenen regthoek, waarvan de lengte tot de breedte staat als 3: 2; het aantal vierk. eenheden des inhouds is tot dat der lengte-eenheden des omtreks als 48: 5. De eigenaar wil in eenen der hoeken een tuintje afperken, hetwelk dezelfde gedaante heeft als het land, doch slechts 1/4 gedeelte van deszelfs inhoud bevat. Men vraagt hoe lang en breed dat tuintje zal moeten zijn.
Antw. De lengte 6 en de breedte 4 lengte-eenheden.
8. Een tuintje heeft de gedaante van een vierkant met eenen halven cirkel op eene der zijden; zoo deszelfs omtrek 96 ellen is, hoe groot is dan de oppervlakte? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 614,25 Vierk. ellen.
9. In eenen cirkel van 20 duimen middellijn is een gelijkbeenige driehoek beschreven, welks bazis 16 duimen doet; men vraagt naar de beenen.
Antw. 8 ²√5 Duimen.
10. Van eene ruit is de inhoud 1 vierkante el 20 vierk. palmen; men vraagt naar de beide diagonalen, wetende dat elke zijde van de ruit 1 el 3 palmen is.
Antw. 1 El en 2 ellen 4 palmen.
11. Van eenen driehoek ABC is gegeven: de bazis AB = 216, de eene opstaande zijde AC = 240 en de andere BC = 264. Men vraagt naar de lengte der lijn, die uit den tophoek C tot aan het midden der bazis getrokken wordt.
Antw. 228.
12. Welke is de inhoud van eenen gelijkzijdigen driehoek, die in eenen cirkel kan beschreven worden, die 16 duimen middellijn heeft?
Antw. 48 ²√3 Vierk. duimen.
13. De inhoud van eenen driehoek is 84 vierk. roeden, de bazis 14 roeden en de som der opstaande zijden 28 roeden. Men vraagt naar de opstaande zijden in het bijzonder.
Antw. De eene 15 en de andere 13 roeden.
14. Men vraagt naar de zijden van eenen driehoek, waarvan de bazis gelijk is aan de helft van de som der opstaande zijden of aan 7 maal derzelver verschil, en waarvan de som der drie zijden 630 roeden bedraagt.
Antw. De bazis 210 en de opstaande zijden 195 en 225 roeden.
15. Van eenen regthoekigen driehoek is de inhoud 30 vierkante duimen en het product der zijden 780; men vraagt naar het verschil der middellijnen van de cirkels, die in en om denzelven kunnen beschreven worden.
Antw. 9 Duimen.
16. In eenen cirkel zijn vier evenwijdige koorden getrokken, welker afstand van elkander, en ook de buitenste van den omtrek des cirkels, 4 ellen is. Men vraagt naar de lengten dier koorden.
Antw. De twee langste elk 19,6 el en de twee kortste elk 16 ellen.
17. Men vraagt naar den inhoud eens balks, die 1,75 decameters lang, 3 decimeters 5 millimeters breed en 22,05 centimeters dik is.
Antw. 1 Kubieke el 176 kubieke palmen 919 kubieke duimen.
18. Een langwerpig vierkante bak heeft 41/2 last inhoud, hebbende de lengte van 5 ellen en de breedte van 3 ellen binnenwerks. Hoe diep is deze bak?
Antw. 9 Palmen.
19. Van eenen gelijkbeenigen regthoekigen driehoek is de som der drie zijden = 6 + 3 ²√2; men vraagt naar elke zijde in het bijzonder.
Antw. Elke regthoekszijde 3 en de hypothenusa 3 ²√2
20. De lengte van den boog eens cirkels, welks straal 5 ellen is, bedraagt 7 ellen 8 palmen 5 duimen; hoe veel graden bevat deze boog, naar de oude en nieuwe verdeeling des cirkels?
Antw. Naar de oude verdeeling 90 en naar de nieuwe 100 graden.
21. Van eenen gelijkzijdigen driehoek is elke zijde 2 palmen; men vraagt naar de middellijn des in-en omgeschreven cirkels.
Antw. 11,5466 Duim die des in-en 23,0933 die des omgeschreven cirkels.
22. Van eenen kubiek is de inhoud 11 hectostères, 5 decastères, 76 decistères en 25 millistères; men vraagt naar den inhoud eens bols, welks halve as gelijk is aan de zijde van dezen kubiek. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 4851 Kubieke ellen.
23. Een kabel, van 8 duimen middellijn, weegt 20,000 ponden; hoe zwaar zal een andere kabel van gelijke lengte en 10 duimen dikte wegen?
Antw. 39062,3 Pond.
24. Een muur is drie en een half maal zoo hoog als dik en vijfmaal zoo lang als hoog. Elke kubieke palm van denzelven kost zoo veel guldens als de dikte in palmen bedraagt. Zoo men nu weet, dat de geheele muur 980 gulden kost, vraagt men naar de lengte, dikte en hoogte van denzelven.
Antw. De dikte 2, de hoogte 1 en de lengte 35 palmen.
25. Iemand heeft met eene chais eenen weg van 40 mijlen 82 roeden afgelegd. Zoo de spaken van de wielen 7 palmen lang zijn, 7 duimen in de naaf zitten, en dan nog 3 duimen van de buitenvelling verwijderd zijn, hoe veel maal heeft dan elk wiel rondgeloopen?
Antw. 8125 Maal.
26. Hoe lang is de middellijn eens cirkels, waarvan de inhoud driemaal zoo groot is als die van eenen anderen cirkel, welks middellijn 1 palm is?
Antw. ²√3 Palmen.
27. Een ring van eenen scheepmaker is 9 nederlandsche duimen dik, dat is in den omtrek, en de buitenste omtrek van den ring is 50 duimen; men vraagt naar den inhoud van dezen ring. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 26415/88 Kubieke duimen.
28. Van eenen cirkel is de omtrek 1 el 7 palmen 6 duimen; men vraagt naar het grootste kwadraat, in dezen cirkel beschreven. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 1568 Vierkante duimen.
29. De lengte der twee pezen, uit een punt des omtreks tot de einden der middellijn van eenen cirkel getrokken, = 23 en 17 gegeven zijnde, den inhoud van dien cirkel te vinden. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 642,714.
30. In eenen steen, lang 1 el 6 palmen, dik 6 palmen en breed 8 palmen, is een rond gat van 4 palmen 2 duimen diameter; als een kubieke palm 2 nederl. ponden weegt, hoe zwaar weegt dan de steen? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 1369,68 Pond.
31. Een bak, welke den vorm heeft van eenen kubiek, heeft eenen inhoud van 25,5 vat; hoe veel inhoud heeft een andere bak, welke dezelfde gedaante heeft, en waarvan de afmetingen 11/2 maal zoo groot zijn als die van den eersten?
Antw. 86,0625 Vat.
32. In eenen trapezium ABCD zijn de hoeken A en D regt, de zijde AB is = 28, CD = 4 en AD = 50. Dit trapezium wil men in twee gelijke deelen verdeelen door eene scheidlinie, welke parallel loopt met AB en CD. Men vraagt naar de lengte van deze scheidlinie.
Antw. 20.
33. Van eenen driehoek is de bazis 6 en elke opstaande zijde 4 duimen; zoo men denzelven ter hoogte van 30 duimen in eene verticale rigting beweegt, hoe veel inhoud heeft dan het ligchaam, dat hierdoor ontstaat?
Antw. 90 ²√7 Inhoud.
34. Iemand zet eenen stok, lang 23 palmen, ter diepte van 2 ellen loodregt in den grond; hij bindt aan het boveneinde van denzelven een schaap aan een touw, lang 35 palmen, en laat het alzoo grazen; hij wil echter, dat het schaap een plek grond zal beweiden, dat de helft grooter is, en bindt te dien einde het schaap onder aan den stok. Hoe veel zal hij het touw korter moeten maken om zijn oogmerk te bereiken?
Antw. 7 Duimen.
35. Een stuk land, in de gedaante van eenen driehoek, 1200 vierkante roeden groot, moet onder drie personen verdeeld worden door scheideslooten, die uit den tophoek op de 60 roeden lange bazis vallen; zoo nu het eerste stuk 300, het tweede 400 en het derde 500 vierkante roeden groot moet zijn, hoe lang moet dan de bazis van elk stuk genomen worden?
Antw. 15 Roeden die van het eerste stuk, 20 die van het tweede en 25 die van het derde.
36. De inhoud van eenen koperen brouwketel, in de gedaante van eenen cilinder, is 62 vaten 80 kannen en de wijdte 2 nederl. ellen. Dezen ketel verkoopt men tegen 25 stuivers den vierkanten amsterd. voet. Hoe veel kost dezelve, als de vierkante amsterd. voet op 801 vierkante nederl. duimen gerekend wordt?
Antw. 245 Gulden.
37. Men heeft een regthoekige driehoekige prisma, waarvan de diagonaal van het grootste zijvlak 25 ellen doet, en de zijden van het grondvlak 6,11 en 15 ellen zijn; men vraagt naar den inhoud.
Antw. 400 ²√2
38. Van twee stukken land is het eerste 5 roeden 5 ellen 6 palmen breed en 32 roeden 2 ellen 5 palmen lang; beide stukken worden verkocht à ƒ 450 de bunder, kostende het tweede stuk ƒ 273,105 meer dan het eerste. Als nu de deugdelijkheid des gronds van het eerste stuk staat tot die van het tweede als 2: 3, en het tweede stuk 10 maal zoo lang als breed is, hoe lang en breed is dan dit laatste stuk?
Antw. 4 Roeden breed 40 roeden lang.
39. In een stuk land, hebbende de gedaante eens regthoeks, en dat met de sloot, die hetzelve insluit, lang is 203 en breed 43 ellen, is een cirkelronde put, 3 welke 31 ellen 4 palmen in omtrek heeft. Men vraagt naar de oppervlakte van het land binnen de sloot, als deze overal 1,5 el breed is.
Antw. 79411/2 Vierk. el.
40. Van eene piramide, welker grondvlak een vierkant is, is elke ribbe 10 ellen; men vraagt naar den inhoud.
Antw. 1662/3 ²√2 Kub. ellen.
41. Van twee gelijkvormige stukken land is de bazis van het eene 30 en die van het andere 40 roeden; men bezaait deze stukken met tarwe, en gebruikt daartoe 12 mudden 5 schepels: hoe veel is dat voor elk stuk?
Antw. 4,5 Mud en 8 mudden.
42. Van eenen regthoekigen driehoek ABC is gegeven de bazis AB = 72 en het verschil tusschen de schuinsche zijde AC en de opstaande zijde BC = 24. Men vraagt naar de laatste elk afzonderlijk.
Antw. 96 en 120.
43. Men wil een stuk grond, in de gedaante van eenen regthoek, hetwelk viermaal zoo lang als breed is, en eene oppervlakte beslaat van 2055 vierk. ellen, met eene schutting van 2 ellen hoog omtuinen; hoe veel vierkante ellen hout zijn daartoe noodig?
Antw. 450 Vierk. ellen.
44. Men heeft een stuk hout in de gedaante van een parallelepipedum, hetwelk viermaal zoo lang als breed en driemaal zoo lang als dik is, terwijl de afstand tusschen de meest verwijderde punten van hetzelve 2 ellen 6 palmen bedraagt. Men vraagt naar den inhoud.
Antw. 1 Kub. el 152 kub. palmen.
45. Een cilindervormig stuk hout, waarvan de middellijn 12 en de lengte 20 decimeters is, wordt in de gedaante van eenen kolom uitgehoold, waarvan de diameter 4 en de diepte 15 decimeters is. Hoe veel stères zal het overblijvende hout nog inhouden?
Antw. 2,072400 Stères.
46. Een boer heeft een vierzijdig stuk land, waarvan de voorzijde AB lang is 130, de opstaande zijde AD = 120, de opstaande zijde BC = 40, de achterzijde CD = 30 en de diagonaal BD = 50 roeden. Men vraagt naar den inhoud.
Antw. 36 Bunders.
47. Hoe veel beloopt de inhoud van eene driehoekige prisma, waarvan elke zijde der bazis 6 duimen en de hoogte 3 palmen is?
Antw. 467,64 Kubieke duimen.
48. Van eenen driehoek zijn de zijden 13, 14 en 15; men vraagt naar de lengte der loodlijn, die uit elk hoekpunt op de tegenoverstaande zijde valt, en tevens naar de deelen, waarin elke zijde door de daarop vallende loodlijn verdeeld wordt.
Antw. De loodlijn, die op de kortste zijde valt 1211/13, die op de tweede 12 en die op de langste 111/5; de deelen van de kortste zijde zijn 78/13 en 55/13, die van de tweede 5 en 9 en die van de langste 63/5 en 82/5.
49. Men heeft twee gelijkzijdige driehoeken; van de eerste doet elke zijde 6 ellen en van de tweede 3 ellen 6 palmen; men vraagt naar de zijde van eenen gelijkzijdigen driehoek, welke gelijk is aan het verschil der beide eerste driehoeken.
Antw. 4 Ellen 8 palmen.
50. Uit eenen balk, welke 10 ellen lang en 4,2 palm breed en dik is, wordt de grootst mogelijke cilinder vervaardigd, waarin vervolgens overlengs een cilindervormig gat wordt geboord van 7 duimen diameter. Hoe veel hout bevat de uitgehoolde cilinder, en hoe veel is er door het bewerken van den balk verloren gegaan? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 1347,5 Kub. palmen overgebleven en 416,500 kub. palm verloren gegaan.
51. Men berekent de as van de planeet Mercurius op 690 en die van Venus op 1649 duitsche mijlen; hoe groot is de oppervlakte dezer planeten? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 1496303,3 Vierk. duitsche mijlen oppervlakte van Mercurius, 8546056,93 vierkante duitsche mijlen oppervlakte van Venus.
52. Welke is de verhouding, in de kleinste geheele getallen, tusschen de grootte van den driehoek in voorstel 14 en die van een regthoekig trapezium, hetwelk de kortste zijde van dien driehoek tot bazis en de beide andere tot opstaande zijden heeft?
Antw. 168: 377.
53. Van eenen regthoekigen driehoek is het quotient van de getallen, welke de gelijknamige lengte-eenheden op de hypothenusa en de bazis uitdrukken = 12/3, en de bazis 1 kleiner dan de andere regthoekszijde. Men vraagt naar elke zijde in het bijzonder.
Antw. De bazis 3, de opstaande regthoekszijde 4 en de hypothenusa 5.
54. Een boer heeft eene haverkist, houdende 15,75 mud, welke door een nederwaarts hellend deksel gesloten wordt; zoo deze kist 1 el 5 palmen lang, 1 el breed en de achterzijde 1 el 2 palmen hoog is, hoe hoog is dan de voorzijde?
Antw. 9 Palmen.
55. Hoe groot is de inhoud eens cirkels, in een vierkant beschreven, waarvan elke zijde 1 el 4 palmen lang is?
Antw. 1 Vierk. el. 53 vierk. palmen 86 vierk. duimen.
56. Van eenen regthoekigen driehoek bedraagt de som der zijden 460 ellen. Hoe lang is elke zijde afzonderlijk, als de kleinste regthoekszijde tot de hypothenusa staat als 8: 17.
Antw. 92 Ellen, 1721/2 el en 1951/2 el.
57. Men laat eenen vierkanten put graven, die van boven 20 ellen en op den bodem 16 ellen lang en breed is, en eene diepte heeft van 5 ellen. De graver bedingt voor elke kubieke el, welke op de eerste el diepte verwerkt moet worden, 20 cents, op de tweede el diepte 30, en zoo elke el dieper voor de kubieke el 10 cents meer. Hoe veel zal de graver na volbragten arbeid kunnen eischen?
Antw. 621,76 Gulden.
58. Hoe veel bedraagt het gewigt van eenen kogel, welke over zijne dikte gelijk is aan de dikte van vier andere kogels te zamen genomen, welker zwaarten 8, 27, 64 en 125 nederl. looden zijn?
Antw. 27,44 Pond.
59. In eene brouwerij is eene cilindervormige kuip geplaatst, welke 36 vaten bier kan bevatten; hoe diep is dezelve, als de middellijn 2 ellen is? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 1,1455 El nagenoeg.
60. Men heeft twee bakken, waarvan de eene den vorm van eenen kubiek heeft; van den tweeden is de diepte 1/6 minder maar in de lengte 1/6 meer dan van den eersten. Zoo nu de kubiekvormige 3 mudden 84 koppen meer kan bevatten, vraagt men naar den inhoud en de afmetingen van dezen bak.
Antw. 138,24 Mud de kubiekvormige en 134,4 mud de andere bak. Elke zijde van den eersten bak 24 palmen; de afmetingen van den tweeden 20, 24 en 28 palmen.
61. Van eenen gelijkzijdigen driehoek is de inhoud 100 ²√3 vierk. duimen; men vraagt naar de lengte van de middellijn des in-en om-geschreven cirkels.
Antw. 11,5466 Duimen de eerste en 23,0933 de tweede.
62. Van een kwadraat en eenen cirkel, die gelijken omtrek hebben, is het verschil der oppervlakten 8/11 vierk. el. Men vraagt naar de oppervlakte van elk in het bijzonder. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. Het kwadraat 1 vierk. el en de cirkel 18/11 vierk. el.
63. Men vraagt naar de langste lijn, welke men kan hebben in eene kist, die binnenwerks lang is 6, breed 3 en hoog 2 palmen.
Antw. 7 Palmen.
64. Iemand heeft een cirkelvormig stuk land, waarvan de middellijn lang is 98 ellen. Zoo hij in het midden van hetzelve eenen ronden hof wil afschutten, welks vlakke inhoud gelijk is aan dien van het overblijvende land, rondom den hof, zoo is de vraag hoe lang de langste regte laan kan vallen, welke in dien hof zou kunnen worden aangelegd.
Antw. 69,296 El ruim.
65. Tegen een gebouw, hetwelk eene hoogte heeft van 7 ellen 5 palmen, staat eene ladder, waarvan het ondereinde 15 palmen van den voet des gebouws afstaat. Zoo nu de lengte van de ladder en de afstand van deszelfs boveneinde tot den top des gebouws gelijk zijn, vraagt men naar de lengte van de ladder, alsmede hoe hoog deszelfs boveneinde van den grond is.
Antw. 3 Ellen 9 palmen de ladder, 3 ellen 6 palmen het boveneinde van den grond.
66. Van eenen regthoekigen driehoek is de som der vierkanten van de drie zijden = 450 en het verschil der derde magten van de schuinsche zijde en eene der beenen = 1647. Men vraagt naar elke zijde in het bijzonder.
Antw. De schuinsche zijde 15 en elke regthoekszijde 12.
67. Men heeft eenen zeshoek, waarvan de tegenoverstaande hoeken 28 ellen 8 palmen van elkander staan; hoe ver staan de tegenoverstaande hoeken van elkander in eenen gelijkvormigen zeshoek, die het zestiende deel van den eersten bevat?
Antw. 7 Ellen 2 palmen.
68. Men heeft een cilindervormigen put, welks middellijn 2,5 el is; men wil denzelven dempen, en gebruikt daartoe eenen hoop aarde, welke 3,75 el lang, 2,875 el breed en 2 ellen hoog is. Hoe diep is de put? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 4,3915 El nagenoeg.
69. Hoe veel steenen van 3 palmen lang, 2 palmen breed en 1 palm dik zijn er noodig tot het bouwen van eenen zeskanten pilaar, die 50 ellen hoog is, en waarvan elke zijde 2 ellen lengte heeft?
Antw. 866021/2 Steen.
70. Van eenen afgeknotten regten kegel is de middellijn van het grondvlak 16, die van het bovenvlak 10 en de regtstandige hoogte 8,5; men vraagt naar den ligchamelijken inhoud. (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 11485/7.
71. Van eenen cilinder is de diameter 28 palmen en de hoogte insgelijks 28 palmen; men vraagt naar den inhoud van den grootsten kloot, die daarin beschreven kan worden. (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 124982/3 Kubieke palm.
72. Hoe veel moet men eene ronde maat, die van binnen 7 duimen wijd en 3 palmen hoog is, in de hoogte verminderen, om dezelve als kan te gebruiken? (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 4 Duimen.
73. Men heeft twee ongelijkzijdige driehoeken, waarvan de zijden 28, 30 en 26 en 21, 13 en 20 zijn; de som dezer driehoeken is gelijk aan eenen anderen driehoek, die dezelfde hoogte heeft als de grootste der beide eerste, waarvan 28 de bazis is; hoe lang is de bazis van den derden driehoek als 21 voor die van den tweeden wordt genomen?
Antw. 381/2.
74. Van eenen cilindervormigen put is de diepte 3 ellen en de inhoud van het grondvlak 3142/7 vierk. palm. In dezen put staat een paal van 3 ellen hoog en één palm breed en dik. Zoo nu bekend is, dat er 72 vaten 54/7 kan water in den put staat, hoe hoog staat de paal dan onder het water?
Antw. 7 Palmen.
75. Van eenen regthoekigen driehoek is de kortste regthoekszijde 4 duimen en de straal des omgeschreven cirkels 5 duimen; men vraagt naar den pijl, die op de langste regthoekszijde valt.
Antw. 3 Duimen.
76. Men heeft eenen stomphoekigen driehoek zoodanig in twee regthoekige driehoeken verdeeld, dat derzelver inhouden tot elkander in reden zijn als 9: 5, en dat de bazis van den grootsten regthoekigen driehoek 2,4 maal de loodlijn is, welke uit den stompen hoek op de tegenoverstaande zijde valt. Zoo nu nog bekend is, dat de lengte-eenheden van deze loodlijn = 1/10 van de vlakte-eenheden van den inhoud des kleinsten driehoeks zijn, hoe lang zijn dan de zijden van deze regthoekige driehoeken?
Antw. Van den kleinsten 15, 20 en 25, van den grootsten 15, 36 en 39.
77. Eene ton, in de gedaante van eenen cilinder, bevat 1 vat 76 kannen water, en is daardoor tot op de hoogte van 1 el 4 palmen gevuld, zoodat het 1/8 van de ton nog ledig is. Regtstandig in dezelve plaatst men eenen cilinder van gelijke hoogte als de ton, waardoor de oppervlakte van het water juist met den rand der ton gelijk staat. Men vraagt naar de middellijn der ton en des cilinders. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. De middellijn der ton 4 palmen, die des cilinders 1,414 palm nagenoeg.
78. Een bak, welke 8 palmen lang, breed en diep is, heeft men ter hoogte van 6 palmen met water gevuld. Zoo men er eenen looden kogel van 51/4 palm middellijn in dompelt, hoe hoog zal dan het water in den bak staan? (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 7,184 Palm nagenoeg.
79. In eenen halven cirkel zijn twee loodlijnen van den diameter tot aan den omtrek getrokken, waarvan de eene lang is 12 en de andere 16 palmen; dezelve staan op den diameter 28 palmen van elkander. Men vraagt naar den diameter.
Antw. 4 Ellen.
80. In eenen regthoekigen driehoek is uit den regten hoek eene lijn tot aan het midden der schuinsche zijde getrokken, en uit den scherpen hoek aan de bazis eene loodlijn op die lijn neêrgelaten. Zoo nu deze loodlijn 24 duimen lang is, en de bazis tot de opstaande regthoekszijde in reden staat als 3: 4, vraagt men naar de zijden des driehoeks.
Antw. 30, 40 en 20 duimen.
81. Eene cilindervormige tobbe, waarvan de middellijn des bodems 5 palmen, en de hoogte 2 palmen is, giet men vol kokend water; hoe zwaar weegt dezelve, als één kubieke palm kokend water 0,75 lb en het hout van de tobbe 25 lb weegt?
Antw. 54,4525 lb.
82. Van eene afgeknotte piramide is de hoogte 10 ellen, het grondvlak 256 vierkante ellen en het bovenvlak 196 vierkante ellen. Hoe lang is de geheele piramide en het afgesneden stuk?
Antw. De geheele piramide 80 en het afgesneden stuk 70 ellen.
83. In een regthoekig stuk land is op 12 roeden afstand van eene der kortste zijden eene haag geplant, welke evenwijdig loopt met deze zijde. In het midden van eene der langste zijden staat een boom, die 45 roeden van het midden der haag en 60 roeden van eenen paal, die in de genoemde kortste zijde staat, verwijderd is. Zoo de boom, het midden der haag en de paal zich in eene regte lijn bevinden, vraagt men naar de grootte van het land.
Antw. 5364 Vierk. roeden.
84. Van eenen cirkel is de middellijn 24 ellen; men wil dezelve in vier gelijke deelen verdeelen, zoodanig dat de deellijnen evenwijdig met den omtrek loopen. Men vraagt met welke stralen dezelve moeten beschreven worden.
Antw. Met stralen van 6, 6 ²√2 en 6 ²√3 ellen.
85. Van eenen afgeknotten kegel is de hoogte 12 duimen, de diagonaal, die in denzelven kan getrokken worden, 20 duimen en de schuinsche zijde 13 duimen lang; Men vraagt naar deszelfs inhoud.
Antw. 2490,02 Kubieke duimen.
86. In eenen cirkelvormigen tuin, welke 56 ellen middellijn heeft, wordt in het midden een cilindervormige vijver gegraven van 8 ellen diep. Zoo het overblijvende land overal 7 ellen breed is, en de aarde, die uit den put gegraven wordt, gelijkelijk over het overblijvende land gespreid wordt, hoe veel zal hetzelve dan daardoor verhoogd worden? (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 102/7 El.
87. In eenen cirkel, welks diameter 321/2 is, heeft men eenen driehoek beschreven, waarvan de bazis 28 en de loodlijn, die uit den tophoek op de bazis valt, 24 is; men vraagt naar de opstaande zijden.
Antw. 26 en 30.
88. Indien de halve som der zijden van eenen driehoek met elke zijde afzonderlijk verminderd wordt, dan zijn de drie resten 3,6 en 9. Men vraagt naar den inhoud van dezen driehoek.
Antw. 54 Vierkante ellen.
89. Men heeft eene tobbe, in de gedaante van eenen cilinder, welke 8 palmen diep en 7 palmen wijd is, tot op de helft met water gevuld. Hoe veel emmers water moet men uit dezelve scheppen, opdat het water nog op 2 palmen hoogte in dezelve staan blijve, indien de emmer 3 palmen diep, beneden 13/4 palm en boven 2 palmen wijd is? (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. 917/169 Emmer.
90. Van eenen afgeknotten kegel doet de hoogte 4 palmen 2 duimen, de diameter van het grondvlak 1 palm 5 duimen en die van het bovenvlak 5 duimen; men vraagt hoe veel kubieke palmen de inhoud bedraagt.
Antw. 3,57175 Kubieke palmen.
91. Men heeft uit eenen cilindervormigen put, van 14 palmen wijd, 100 emmers water geput; zoo de emmer van boven 3, van onder 2,7 wijd en 5 palmen hoog is, hoe veel palmen is het water dan in de hoogte verminderd? (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 20145/196 Palm.
92. Eene cilindervormige buis van 56 duimen lengte en 4 duimen middellijn, is ter hoogte van 42 duimen met water gevuld; zoo men in deze bazis zoo veel looden kogeltjes van 2 duimen middellijn wilde werpen, dat het water met den bovenrand gelijk stonde, hoe veel kogeltjes zou men dan noodig hebben? (Verh. van ARCHIMEDES.)
Antw. 42 Kogeltjes.
93. Drie buren koopen gezamenlijk eenen slijpsteen, en betalen ieder even veel. De straal is 1,05 el, en in het midden is een rond gat voor den zwendelstop, hebbende eenen radius van 0,105 el. Zoo zij overeenkomen, dat ieder op zijne beurt den steen zoo lang zal gebruiken, tot dat zijn aandeel zal afgeslepen zijn, hoe veel moet dan ieder den radius verminderen?
Antw. De eerste 0,1715, de tweede 0,2145 en de derde 0,559.
94. Men wil eenen kegel, welks grondvlak 10 palmen diameter heeft, en welke 12 palmen hoog is, in zes gelijke deelen verdeelen door vlakken, welke evenwijdig loopen aan het grondvlak. Men vraagt hoe ver de omtrekken van die vlakken in de schuinsche zijde van elkander moeten vallen.
Antw. De omtrek van het eerste vlak 7,7 van het grondvlak, de tweede 8,8 van den eersten, de derde 10,4 van den tweeden, de vierde 13 van den derden, de vijfde 18,6 van den vierden en de zesde 71,5 duim van het grondvlak.
95. Van een trapezium zijn de twee evenwijdige zijden 12 en 13 ellen en de beide overige zijden 10 en 9 ellen; men vraagt naar den inhoud.
Antw. 134,9727 Vierkante ellen.
96. In eenen cirkel snijdt eene koorde eene andere koorde regthoekig, en verdeelt dezelve in twee deelen, die tot elkander staan als 1: 49; als de eerste koorde 10 en de tweede 25 duimen lang is, vraagt men naar de middellijn des cirkels.
Antw. 26 Duimen.
97. Van eenen driehoek ABC wordt de hoek C midden door gedeeld door eene lijn, welke de bazis AB in twee deelen deelt; zoo nu AD = 6, BD = 8, en de som der drie zijden 42 ellen is, vraagt men naar den inhoud van dezen driehoek.
Antw. 81,3309 Vierk. ellen.
98. Men heeft een vat, in de gedaante van eenen cilinder, ter hoogte van 1 el 5 palmen met water gevuld, hetwelk, geroerd wordende, aan de kanten 0,05 el rijst; daar nu het water niet vermeerdert, moet hetzelve eenen put formeren; zoo men nu vooronderstelt, dat deze put de gedaante heeft van eenen regten kegel, hoe hoog zal het water dan in het midden boven den bodem staan?
Antw. 14 Palmen.
99. Men vraagt naar den inhoud van eenen gelijkzijdigen driehoek, waarin zes gelijke cirkels beschreven zijn, die elkander en de zijden van den driehoek raken en elk 6 duimen diameter hebben.
Antw. 218,43 Vierk. duimen.
100. Om eenen driehoek is een cirkel beschreven, welks diameter 24 is; wanneer deze diameter uit den tophoek getrokken wordt, en regthoekig door dezen een andere, die de beide beenen van den driehoek snijdt, zoodanig dat de overblijvende stukken des laatsten diameters, welke buiten den driehoek vallen, 7 en 3 zijn hoe lang zijn dan de zijden des driehoeks?
Antw. 222/13; 191/5 en 2044/65.
101. Om een cilindervormig vat, wijd 7 palmen en hoog 9 palmen, in welks deksel een rond gat van 1 duim 7,5 streep middellijn geboord is, met water te vullen, gebruikt men eenen kegelvormigen trechter, welks kleinste opening juist gelijk is aan die in het deksel, doch waarvan de grootste opening 51/7 duim wijd is. Men vraagt hoe veel malen men dien trechter zou moeten volmaken, indien de kortste afstand van deszelfs openingen 12 duimen bedraagt. (Verhouding van ARCHIMEDES.)
Antw. Ruim 2862 malen.
102. Zekere put kan 27000 nederlandsche ponden water bevatten, terwijl de lengte juist 1/3 der diepte en de breedte 1/3 der lengte bedraagt. Men vraagt naar de lengte, breedte en diepte.
Antw. De diepte 9 ellen, de lengte 3 ellen en de breedte 1 el.
103. Van twee even lange graanzakken, waarvan de eene 1 mud en de andere 2 mudden 2 schepels 5 koppen kan bevatten, heeft men één zak van de zelfde lengte gemaakt. Hoe veel graan zal deze laatste zak bevatten?
Antw. 6 Mudden 2 schepels 5 koppen.
104. Van eenen regthoekigen driehoek ABC, regthoekig in B, wordt de tophoek C door eene lijn CD midden door gedeeld, en uit A en B de loodlijnen AF en BH op CD nedergelaten. Als nu de stukken, waarin deze de lijn CD verdeelen, gegeven zijn, te weten CH = 20 en FH = 10, hoe lang zijn dan de zijden van den driehoek ABC?
Antw. De zijde AB = 10 ²√6; de zijde BC = 4 ²√30 en de zijde AC = 6 ²√30
105. Men heeft een stuk land, in de gedaante van eenen regthoekigen driehoek, waarvan de kortste zijde 40 roeden lang is. Wanneer nu nog bekend is, dat de som der beide andere zijden 100 roeden is, zoo is de vraag, hoe veel vierkante roeden dit stuk land beslaat.
Antw. 840 Vierk. roeden.
106. In eenen tuin, hebbende de gedaante eens driehoeks ABC, staat de koepel H, ter plaatse alwaar twee lanen AD en BF elkander kruisen, welke lanen uit de hoeken A en B naar de tegenoverstaande zijden loopen. Indien nu bekend gegeven zijn: de zijde AC = 1500 meters, de laan AD = 1400 en BF = 1300 meters; de stukken, waarin de zijde BC des driehoeks door de laan AD gedeeld wordt, BD = 650 en CD = 750 meters; alsmede het eene stuk AF van de zijde AC, welke door de laan BF in twee stukken wordt verdeeld, = 1000 meters, zoo is de vraag de afstanden AH, FH, DH en BH te bepalen.
Antw. AH = 1136,232 meters, FH = 565,22 meters ruim, DH = 263,768 meters nagenoeg, en BH = 734,78 meters nagenoeg.
107. In het midden van eene ronde waterkom, breed 5 ellen 1 palm, staat een stok regtstandig, 8 palmen 5 duimen boven het water uitstekende. Deze stok, bewogen wordende, raakt juist aan den rand der kom en de oppervlakte des waters. Hoe diep staat het water in de kom?
Antw. 3 Ellen 4 palmen.
108. Van eenen vierhoek ABCD, in eenen cirkel beschreven, zijn twee zijden AB en CD naar denzelfden kant verlengd, zoodat zij elkander in een punt F, buiten den cirkel, ontmoeten. Wanneer nu gegeven is: AB = 33, BC = 25, CD = 16 en AD = 60, zoo vraagt men naar BF en CF.
Antw. BF = 15 en CF = 20.
109. Men heeft een driehoekig stuk boschgrond ABC, hetwelk slechts aan de eene zijde AB toegankelijk is. Om den inhoud van hetzelve te berekenen, trekt men op eenigen afstand eene lijn DE evenwijdig met AB en AF evenwijdig met BE. Indien nu de zijden des driehoeks ADF gemeten worden als volgt: DF = 10, AD = 7,5 en AF = 12 roeden, en de zijde AB des anderen driehoeks lang is 32 roeden, vraagt men naar den inhoud des driehoeks ABC.
Antw. 3 Bund. 82 vierk. roeden 72 vierk. el.
110. Men heeft twee stukken weiland, welke door eenen weg van elkander gescheiden zijn. Het eene stuk heeft de gedaante van een regthoekig trapezium ABCD en het andere van eenen gelijkbeenigen regthoekigen driehoek ABE, waarvan de zijde AB gelijk aan de zijde AB van het trapezium. Wanneer men op dit laatstgemelde van A naar B, van B naar C en van C naar D gaat, heeft men juist 59 roeden afgelegd. Vlak langs BC loopt een zijwegje van 10 roeden lang, langs hetwelk men even zoo goed, als over het land, op de kortste wijze kan komen van den weg AB tot de daarmede evenwijdige sloot, die het land ABCD aan de zijde CD begrenst. Van het driehoekige stuk land is bekend de som van de kwadraten der zijden = 3136 vierk. roeden. Zoo men nu deze beide stukken wil hooijen, maar tot gebruik van de belendende eigenaars of gebruikers over elk van de beide stukken lands eenen overweg moet laten; op ABCD van B naar D en op ABE van B naar de zijde AE, zoo kort die weg kan vallen, en deze wegen elk 1/4 roede breed zijn, zoo is de vraag hoe veel centenaars hooi men van beide landen zal inoogsten, indien elke vierk. roede 10 ned. lb oplevert.
Antw. Ruim 62 centenaars.