III Theorie der Oberflächen
Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch die Forschungen über die Oberflächen bald denen über die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.
Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst W r e n (1669), P a r e n t und E u l e r begannen sich mit den Oberflächen zweiten Grades zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von M o n g e gehen, um die Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten Oberflächen anzutreffen.125 Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie J a c o b i,126 M a c C u l l a g h (1809-1847),127 C h a s l e s,128 H e s s e,129 S e y d e w i t z (1807-1852),130 S c h r ö t e r131 konnte die Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung in den mehr elementaren Unterricht eingeführt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem Wege behandelt werden.132
Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. C h a s l e s133 und G e r g o n n e,134 als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare Eigenschaften. P o n c e l e t bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche135 und eröffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen S a l m o n136 und C a y l e y137 die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche P l ü c k e r durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.
J a c o b i138 und später R e y e139 beschäftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen entstehen. C h a s l e s,140 C r e m o n a,141 R e y e,139 E s c h e r i c h,142 S c h u r,143 mit ihrer Entstehung vermittelst projektiver oder reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, G r a ß m a n n (1809-1877)144 mit anderen Erzeugungsweisen; S a l m o n,145 C l e b s c h,146 S t u r m,147 S c h u b e r t148 und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberfläche Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich entdeckte S c h u r vor kurzem eine lineare Konstruktion149 für Flächen beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir R e y e.150
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche S a l m o n151 und C r e m o n a152 über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu lösen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Überwindung der Schwierigkeiten, welche deren Lösung bietet, zur Verfügung stehen, sind noch nicht genügend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafür, daß so viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flächen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung fähig sind. — Und daß ihre Erwartungen teilweise nicht getäuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon über die Oberflächen dritten Grades, sowie über einige von der vierten Ordnung erhalten hat, über welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.
Es ist allgemein bekannt, daß die beiden hervorragendsten Eigenschaften einer Fläche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die Geraden der Hesseschen Fläche jener Oberfläche hat. England und Deutschland können sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon im Jahre 1849 C a y l e y und S a l m o n153 die Geraden einer kubischen Fläche bestimmt haben, und im Jahre 1851 S y l v e s t e r154 das Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, daß S t e i n e r unabhängig von ihnen die Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.155 Aber während die Studien der englischen Geometer fast gänzlich der Fortsetzung entbehren,156 steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflächen dritter Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich die Abhandlungen von S c h r ö t e r,157 A u g u s t158 u. s. w., in welchen einige der von Steiner ausgesprochenen Sätze bewiesen werden, nur kurz erwähne, will ich mich darauf beschränken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit Recht berühmten Schriften zu lenken, die von C r e m o n a159 und v o n S t u r m160 über diese Oberflächen verfaßt und im Jahre 1866 von der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekrönt sind, Arbeiten, auf welche jeder zurückkommen muß, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Fläche dritter Ordnung, die G r a ß m a n n,161 A u g u s t,162 A f f o l t e r163 und P i q u e t164 den von Steiner angegebenen hinzugefügt haben, bei der Konstruktion dieser Flächen, welche L e P a i g e165 gegeben hat, bei den vielen Sätzen, die sich auf die Verteilung der Geraden, der dreifach berührenden Ebenen und die Kurven einer kubischen Fläche beziehen und welche vor kurzem von C r e m o n a,166 A f f o l t e r,167 v o n S t u r m168 und B e r t i n i169 entdeckt wurden, endlich bei den von C r e m o n a,170 C a p o r a l i,171 R e y e172 und B e l t r a m i173 studierten Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Fläche dritter Ordnung verknüpft sind, sowie bei den von Z e u t h e n174 betrachteten zwölf vollständigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anführen, daß eine Einteilung dieser Oberflächen, die auf die Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stützt, von S c h l ä f l i gemacht ist175 und eine neuere von R o d e n b e r g,176 die sich auf das Pentaeder gründet, daß ferner ein genaues und eingehendes Studium der Regelflächen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten C r e m o n a s,177 E m. W e y r s178 und B e n n o K l e i n s179 bildet, daß schließlich die sogenannte Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung von C l e b s c h über die Gleichungen fünftes Grades bildet180 und daß andere besondere Fälle von C a y l e y181 und E c k a r d t182 in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, daß die Untersuchungen von S a l m o n,183 C l e b s c h,184 G o r d a n185 und d e P a o l i s186 die geometrische Bedeutung für das Verschwinden der fundamentalen invarianten Formen der quaternären kubischen Form festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Fläche dritter Ordnung darstellt, daß schließlich J o r d a n187 von Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen Fläche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluß zu ziehen, daß die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.
Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflächen v i e r t e n Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer studiert; über jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten Grades; jene wurde von P o n c e l e t188 und C h a s l e s189 untersucht, diese von demselben Chasles,190 von C a y l e y191 und vollständiger von C r e m o n a.192
Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit außerordentlichem Scharfsinne von K u m m e r193 bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt und die römische Fläche von Steiner.
Von der ersteren entdeckte K u m m e r im Jahre 1864 die bemerkenswerte Eigenschaft, daß die ihr doppelt umgeschriebene Developpabele aus fünf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand M o u t a r d194 dieselbe Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich entfernte imaginäre Kugelkreis ist,195 und er bemerkte weiter gleichzeitig mit D a r b o u x,196 daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben Art, gehören kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginären Kugelkreis haben, wiederholt von D a r b o u x,197 von L a g u e r r e (1834-1886)198 und von C a s e y199 studiert; hingegen diejenigen, welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von C r e m o n a,200 G e i s e r,201 S t u r m,202 Z e u t h e n,203 von C l e b s c h,204 K o r n d ö r f e r,205 B e r z o l a r i206 und D o m s c h207 — welcher auf sie die hyperelliptischen Funktionen anwandte — und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt haben, von T ö t ö s s y.208 Was die Klassifikation dieser Oberflächen betrifft, so möge es mir gestattet sein, meinen Namen anzuführen209 neben dem meines teuern Freundes S e g r e.210
Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen; die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,211 wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,212 wird dieselben in den synthetischen Abhandlungen von C r e m o n a,213 S c h r ö t e r214 und S t u r m,215 auf den Seiten, welche R e y e ihr in seiner Geometrie der Lage (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von C a y l e y,216 B e l t r a m i,217 C l e b s c h,218 E c k a r d t,219 L a g u e r r e220 und G e r b a l d i221 finden.
K u m m e r verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.222 Wir werden in kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche nennt) 16 singuläre Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat und daß Specialfälle derselben die Wellenfläche von F r e s n e l223 und das von C a y l e y 1846 untersuchte Tetraedroid224 sind. Eine solche Oberfläche ist zu sich selbst dual.225 Ihre asymptotischen Kurven wurden von K l e i n und L i e bestimmt226 und R e y e227 zeigte, daß jede die Grundkurve eine Büschels von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche C a y l e y und B o r c h a r d t (1817-1880)228 entdeckt haben und die H. W e b e r229 zusammen mit anderen entwickelt hat;230 die algebraischen Fragen, welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von J o r d a n231 gelöst; endlich kann man dieselbe, wie R o h n232 es gethan hat, vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen233 behandeln.
Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley234 sich beschäftigt hat, übergehe, will ich noch die Monoide erwähnen,235 die von R o h n studiert sind,236 und diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; C h a s l e s hat ihre Ordnung bestimmt und S c h u r eine Menge eleganter Eigenschaften derselben gefunden.237
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von C h a s l e s,238 S a l m o n,239 C a y l e y,240 von P l ü c k e r,241 L a G o u r n e r i e (1814-1883),242 V o s s243 und im besonderen von C h a s l e s,244 C r e m o n a,244 S c h w a r z,245 L a G o u r n e r i e246 (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind), von C l e b s c h,247 A r m e n a n t e248 (rationale und elliptische Regelflächen), von E m. W e y r249 (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von E d. W e y r250 (Oberflächen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von E c k a r d t251 und C h i z z o n i252 (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade enthalten und die von S t u r m253 und A f f o l t e r254 untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei welchen G e i s e r255 und L i e256 bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m) Punkte gehen, welche Flächen eingehend von C h a s l e s,257 L ü r o t h,258 H i e r h o l z e r259 und von C a y l e y260 studiert wurden, da sie zur Auflösung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schließlich diejenigen, welche unendlich viele lineare Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;261 diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades sind,262 diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt werden,263 und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein reguläres Polyeder besitzen.264
Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die der projektiven Geometrie ist.265 Diese bilden zusammen mit den Studien, die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von dem Erscheinen der Application de l’Analyse à la Géométrie266 von M o n g e datieren kann, und das spätere Werk, welches von grösserem Einflüsse war, das von G a u ß (1777-1855) ist, welches den Titel trägt: Disquisitiones generales circa superficies curvas,267 so nehmen wir in unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauß angenommene Einteilung des Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstände geleistet haben, und dann vorführen, was ihre Nachfolger hinzugefügt haben.
Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse, da er nur die Bestimmung der Berührungsebenen und Normalen einer Oberfläche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflächen, Kegel-und Rotationsflächen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen Leitgeraden enthalten sind. Höchst bemerkenswert ist der folgende Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rückkehrkurve (arête de rebroussement) einer Enveloppe eingeführt hat; an diesen Paragraphen schließen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Röhrenflächen mit ebener Leitlinie (§ 7), Flächen, die als Linien größter Neigung gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (§ 8), und schließlich Enveloppen einer Oberfläche, die sich unter der Bedingung bewegt, daß ein mit ihr unveränderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchläuft (§ 9).268 — Von da ab beginnt die Theorie der partiellen Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich, daß es in vielen Fällen für die Bestimmung der Natur einer Oberfläche nützlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung für sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdrücken. Beispiele hierfür bieten die Flächen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im § 10 und § 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flächen (§ 12), andere die im § 9 beschriebenen, andere schließlich die Örter beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchläuft (§ 14).269 — Die Theorie der Krümmung einer Oberfläche in einem Punkte,270 sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben Fläche271 führen zu einer neuen Art von Flächen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im § 15, der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist im § 16 behandelt, derselbe enthält die Bestimmung der Krümmungslinien dieser Fläche.272 — Groß an Zahl und von großer Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Krümmung Anlaß giebt. Man kann z. B. die Oberflächen untersuchen, bei denen der eine Krümmungsradius für jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (§ 18), daß dieselben von einer Fläche von konstanter Form eingehüllt werden, die sich in der vorhin (in den §§ 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch voraussetzen, daß in jedem Punkte die beiden Krümmungsradien gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberfläche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen die beiden Krümmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Fläche eine Minimalfläche.273 Oder es sei in jedem Punkte einer der Krümmungsradien gleich groß (§ 21).274
An die Theorie der Krümmung schließen sich dann die Studien über die Röhrenflächen mit beliebiger Leitkurve (§§ 22 und 26) und über diejenigen Flächen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (§ 23), einen gegebenen Kegel (§ 24) oder eine gegebene Developpabele (§ 25) berühren. — Für einige dieser Flächenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, für alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und gelöst hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, daß es auch von denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschäftigen, eingehend studiert werde.
Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die Developpements de Géométrie von C h. D u p i n (1813). In derselben wird unter anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer Oberfläche und der der Indikatrix eingeführt; dort sind die asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)275 untersucht, und der berühmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt ist.
Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen Untersuchungen über Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien ansehen, die man D u p i n,276 A l f r e d S e r r e t (1819-1885),277 O. B o n n e t,278 D i n i,279 E n n e p e r (1830-1885),280 D a r b o u x,281 P i c a r t,282 L e c o r n u,283 D o b r i n e r,284 V o r e t s c h285 und anderen verdankt.
Von derselben Art, aber von größerer Allgemeinheit sind die wichtigen Untersuchungen von W e i n g a r t e n über solche Oberflächen, bei denen in jedem Punkte der eine Krümmungsradius eine Funktion des anderen ist,286 welche Untersuchungen D i n i (a. O.), B e l t r a m i287 und L i e288 zur Bestimmung der windschiefen Oberflächen mit derselben Eigenschaft geführt haben. Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls W e i n g a r t e n verdankt289 und die sich auf Oberflächen beziehen, deren Normalen eine andere vorgelegte Oberfläche berühren. — Dem § 20 des Mongeschen Werkes können wir die zahlreichen Abhandlungen anschließen, welche die Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die von S t e i n e r290 und W e i e r s t r a ß291 an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die von S c h e r k292 und B o n n e t,293 welche einige Spezialfälle derselben bearbeitet haben; S e r r e t294 beschäftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, R i e m a n n295 und W e i e r s t r a ß296 mit solchen, die einen gegebenen Umriß haben, G e i s e r297 mit algebraischen, N o e v i u s298 mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; C a t a l a n299 mit solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, H e n n e b e r g300 mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; B o n n e t301 untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Krümmungslinien befindet; B o u r302 diejenigen, welche auf eine Rotationsfläche sich abwickeln lassen; S c h w a r z solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt sind303 oder die von Kegeln eingehüllt sind,304 und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten;305 E n n e p e r306 untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von M a t h e t307 behandelt, von B e l t r a m i,308 von L i e,309 K i e p e r t,310 H e n n e b e r g,311 R i b a u c o u r,312 B i a n c h i313 und P i n c h e r l e.314 Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer bemerkenswerten Erweiterung fähig, die von L i p s c h i t z315 entdeckt wurde.
Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der Disquisitiones generales circa superficies curvas von G a u ß.
Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer Oberfläche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei unabhängigen Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in einem gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.316 Bekanntlich ist dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche in jenem Punkte317 (§ VIII). Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man sowohl durch die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und XI).318
Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar sind319 (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die geodätischen Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und XVIII), dann die Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der Parallelkurven (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die Berechnung der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.
Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen, die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen Ricerche di analisi applicata alla geometria, die B e l t r a m i im zweiten und dritten Bande des Giornale di Matematiche veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle einräumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser Dalle variabili complesse su una superficie qualunque,320 Teoria generale dei parametri differenziali321 und Zur Theorie des Krümmungsmasses.322 Bemerkenswert sind ferner die Studien von B o n n e t323 und von D a r b o u x324 über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in den Disquisitiones enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der Krümmung führte zum Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder negativer) Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte gewidmet haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von B e l t r a m i an: Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette325 und Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea,326 dann die Schriften von D i n i,327 L i e,328 B i a n c h i,329 B ä k l u n d,330 D a r b o u x331 und D o b r i n e r.332 Von derselben Art, aber allgemeiner, sind die Studien von C h r i s t o f f e l333 über die Bestimmung der Gestalt einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von L i p s c h i t z334 über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.
An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen Linien behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von J o a c h i m s t h a l (1818-1861),335 S c h e r i n g,336 B e l t r a m i,337 die von L i e338 gemachte Einteilung der Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien und die Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben Verfasser.339 Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von M i n d i n g in enger Beziehung,340 in der zum ersten Male die Frage aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt von den Arbeiten von B o u r341 (1832-1866), C o d a z z i342 und B o n n e t,343 welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den Abhandlungen von C h r i s t o f f e l,344 v o n M a n g o l d t,345 W e i n g a r t e n,346 B r i l l,347 M i n d i n g,348 J e l l e t,349 D i n i,350 E n n e p e r,351 R a z z a b o n i,352 L e c o r n u,353 B e l t r a m i354 und vielen anderen behandelt.
Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte L a m é sie für einen Spezialfall auf, nämlich für den der elliptischen Koordinaten,355 später wies er auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten hin356 und konstruierte dann die Theorie derselben,357 ohne ihre Anwendung358 und Entwickelung359 zu vernachlässigen. Die berühmten Leçons sur la théorie des coordonnées curvilignes et leurs diverses applications (Paris, 1859) von L a m é fassen zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich A o u s t an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,360 dann B r i o s c h i,361 C o d a z z i,362 C h e l i n i (1802-1878),363 D a r b o u x,364 C o m b e s c u r e,365 L e v y,366 R o y e r367 und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur diejenigen von B o u q u e t,368 A. S e r r e t,369 B o n n e t,370 C a t a l a n,371 M o u t a r d,372 D a r b o u x,373 C a y l e y,374 R i b a u c o u r,375 W e i n g a r t e n,376 S c h l ä f l i,377 H o p p e,378 B i a n c h i379 und M o l i n s380 nennen will.
Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von L i e381 an, welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von E n n e p e r,382 die sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von C a y l e y383 und W e i n g a r t e n384 und die von W i l l g r o d385 über Oberflächen, welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt werden; schließlich die von B i a n c h i386 über Schraubenflächen.
Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie der Oberflächen wurde durch die Bemühungen d e S a l v e r t s geschaffen, der in einigen eleganten Arbeiten,387 wahrscheinlich hervorgerufen durch die schönen Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes von H e s s e, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die Gleichung z = φ(x, y) zu Grunde gelegt wird.
Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine verdankt man H o p p e; sie trägt den Titel: Elemente der Flächentheorie; eine andere wurde von B r i s s e unternommen;388 die neuesten sind die von B i a n c h i in seinen sehr schönen Lezioni di geometria differenziale (Pisa, 1886) und die, welche D a r b o u x in seinen Leçons sur la théorie générale des surfaces begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen (Paris, 1887).
Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist; vielmehr haben B e r t r a n d389 und B o n n e t390 zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des Traité de calcul différential et intégral von B e r t r a n d und der Traité de géométrie descriptive von d e l a G o u r n e r i e391 und eine große Zahl von überaus schönen Abhandlungen von M a n n h e i m392 bemerkenswerte geometrische Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir uns eben beschäftigt haben, angehören.