Die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie

Noten

1 »It is difficult to give an idea of the vast extent of modern mathematics. This word »extent« is not the right one: I mean extent crowded with beautiful detail — not an extent of mere uniformity such as an objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the distance, but which will bear to be rambled through and studied in every detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower.« (Rede von C a y l e y i. J. 1883 vor der »British Association for the Advancement of Science« gehalten.)
Bei dieser Gelegenheit führen wir noch folgendes Urteil von E. D u b o i s - R e y m o n d über den Charakter der modernen Wissenschaft an: »Nie war die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen, nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine grössere Einheit dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewußter, mit gewaltigeren Methoden voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere Wechselwirkung statt.« (Über die wissenschaftlichen Zustände der Gegenwart, Reden, Bd. II, S. 452.)

2 Histoire des sciences mathématiques en Italie par G. L i b r i, 1838. Bd. I, S. 3.

3 H a n k e l, Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten (Tübingen. II. Aufl. 1885). S. 7.

4 Diese Thatsache könnte man als ein neues Moment ansehen, wie sich — nach einem berühmten Ausspruche Humboldts — der Einfluß, den die tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen Untersuchungen ausüben, geltend macht.

5 Vgl. E m i l W e y r, Über die Geometrie der alten Ägypter (Wien, 1881).

6 Für die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik von M. C a n t o r (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das Todesjahr.

7 In Bezug auf größere Einzelheiten sehe man B r e t s c h n e i d e r, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides (Leipzig, 1870).

8 B e t t i und B r i o s c h i, Vorrede zu Gli elementi di Euclide (Florenz, 1867). Eine gegenteilige Ansicht hat L a c r o i x in seinem wohlbekannten Buche Essais sur l’enseignement en général et sur celui des mathématiques en particulier (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.

9 Um zu zeigen, wie glänzend und bewunderungswürdig die noch immer verkannte griechische Mathematik gewesen sein muß, genüge es, die Thatsache anzuführen, daß die Theorie der Kegelschnitte, ein hauptsächlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufügen hätte, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die Bewunderung für jene wird noch jeden Tag grösser durch die historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Z e u t h e n (s. das Werk Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume, deutsch von F i s c h e r - B e n z o n. Kopenhagen, 1886), P. T a n n e r y (s. Bull. des sciences math. und Mém. de la Société de Bordeaux) und andere], welche das Vorurteil zu beseitigen suchen, daß die Griechen keine Untersuchungsmethoden gehabt hätten, die vergleichbar sind mit denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafür die Ansicht aufzustellen streben, daß es ihnen nur an den nötigen Formeln zur Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.

10 Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der berühmte Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit geschrieben hat, anzuführen: »...... mais bientôt le Romain arrive, il saisit la science personnifiée dans Archimède, et l’étouffe. Partout où il domine la science disparaît: l’Étrurie, l’Espagne, Carthage en font foi. Si plus tard Rome n’ayant plus d’ennemis à combattre se laisse envahir par les sciences de la Grèce, ce sont des livres seulement qu’elle recevra; elle les lira et les traduira sans y ajouter une seule découverte. Guerriers, poètes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, quel théorème de géométrie devons-nous aux Romains?« (L i b r i a. O. S. 186.)
Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten, genüge es mitzuteilen (vgl. H a n k e l, Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1874. S. 103), daß sie dieselbe oft mit Astrologie und den verwandten Künsten zusammenwarfen. Es darf uns daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den gesammelten Bestimmungen unter dem Titel »De maleficis et mathematicis et ceteris similibus« folgendes finden: »Ars autem mathematica damnabilis interdicta est omnino.« Wenn man in demselben Codex etwas weiter die Wendung findet: »Artem geometriae discere atque exercere publice interest,« so muß man sich hüten, sie als eine Übersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen: »L’avancement, le perfectionnement des Mathématiques sont liés à la prospérité de l’État,« denn es ist fast sicher, daß der römische Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie meinte.

11 Unter den Fragen der G e o m e t r i e, welche die italienischen Gelehrten des 16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger Wichtigkeit, da sie die »Geometria del compasso« (Geometrie des Kreises) entstehen ließen, welcher gerade in dieser Zeit B e n e d e t t i (?-1590) eine Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von M a s c h e r o n i (1750-1808) und S t e i n e r gepflegt wurde.

12 P a s c a l entdeckte an der Cykloide eine Fülle bemerkenswerter Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für das Studium der Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den berühmten Lehrsatz von dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, u. s. w.
D e s a r g u e s führte die g e m e i n s a m e Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff der Involution von sechs Punkten, löste mehrere wichtige Fragen, die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.
In den Werken von D e s a r g u e s (vgl. die von P o u d r a 1864 besorgte Ausgabe) findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, daß man dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet betrachteten die Schlüsse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als der Strenge entbehrend (vgl. Traité des proprietés projectives, Bd. II, S. 128). Jedoch wurde das von D e s a r g u e s vorgeschlagene Verfahren in der neueren Zeit wiederholentlich von demselben P o n c e l e t (a.a.O. Bd. I, S. 374), von J o n q u i è r e s (in verschiedenen Abhandlungen in den Annali di Matem., Journ. f. Math. und in den Math. Ann.), von C r e m o n a (s. die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane) gebraucht, und gehört heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem »Prinzip der Erhaltung der Anzahl« verdanken.

13 Vgl. E. D u b o i s - R e y m o n d, Kulturgeschichte und Naturwissenschaft, in den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.

14 F a v a r o, Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni. Memorie di Modena, 18, 1879.
M a t t h i e s s e n, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.

15 Über den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man G ü n t h e r, Die Anfänge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes (Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nürnberg, 6) und über Cartesius die Rede von J a c o b i, ins Französische übersetzt und veröffentlicht in Liouvilles Journ. 12 unter dem Titel: De la vie de Descartes et de sa méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences.

16 Siehe z. B. den Traité de la lumière (Leyden, 1691).

17 Sectiones conicae in novem libros distributae (Paris, 1685), Mémoires sur les Epicycloides (Anciennes Mémoires de l’Académie des sciences, 9), Traité des roulettes etc. (ebendas., 1704).

18 Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach, sowie seine Versuche, verloren gegangene Bücher (wie das achte Buch von Apollonius’ Kegelschnitten) wieder herzustellen.

19 Vergl. sein Buch A complete System of Fluxions (Edinburgh, 1742).

20 Treatise on conic Sections (1735).

21 General theorems of considerable use in the higher parts of mathematics (Edinburgh, 1746); Propositiones geometricae more veterum demonstratae (Edinburgh, 1763).

22 Hinsichtlich der von S i m p s o n und S t e w a r t gemachten Versuche, die griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man B u c k l e, Geschichte der Civilisation in England (deutsch von A. R u g e), Bd. I, Kap. 5.

23 Die von den Griechen hauptsächlich untersuchten Kurven sind: der Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, die Diokles’sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige andere. Zu diesen fügten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die Hypo-und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzählige andere.

24 Siehe das fünfte Buch seiner Exercitationes geometriae.

25 P a r e n t, Essai et Recherches de Mathématiques et de Physique (II. Aufl. 1713), Bd. 2.

26 Traité de Courbes à double courbure. 4

27 Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.).

28 Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784); Feuilles d’analyse appliquée à la géométrie (Paris, 1795), oder Applications de l’Analyse à la Géométrie (Paris, 1801).

29 Ausspruch von d ' A l e m b e r t.

30 Leçons de géométrie descriptive (Paris, 1794).

31 In Bezug auf M o n g e sehe man D u p i n, Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge (Paris, 1819); A r a g o, Notices biographiques.
Über die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von C h r. W i e n e r, Lehrbuch der darstellenden Geometrie (Leipzig, 1884, 1887), in welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird, sei es über die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es über die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.
Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner Kollegen [unter anderen L a c r o i x (1765-1843) und H a c h e t t e (1769-1834)], sowie viele von seinen Schülern an der polytechnischen Schule. Der Kürze halber beschränke ich mich darauf, den anzuführen, »der über die anderen wie ein Adler fliegt«, C h a r l e s D u p i n (1784-1873), vorzüglich wegen seiner klassischen Développements de géométrie (1813), die noch von allen gelesen werden müssen, welche auch nur eine mäßige Kenntnis des heutigen Zustandes der Geometrie erlangen wollen.

32 Monge’s Einfluß läßt sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; zum Beweise genüge es, die Idee anzuführen, die Schranken, durch welche die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, niederzureißen, und den glücklichen Versuch, den neuerdings (1884) D e P a o l i s in seinen goldenen Elementi di Geometria (Turin) gemacht hat, dieselbe auszuführen.

33 »La Géométrie de position de Carnot n’aurait pas, sous le rapport de la métaphysique de la Science, le haut mérite que je lui ai attribué, qu’elle n’en serait pas moins l’origine et la base des progrès que la Géométrie, cultivée à la manière des anciens, a fait depuis trente ans en France et en Allemagne« (A r a g o, Biographie de Carnot).

34 Zweite Auflage, 1865, 1866.

35 Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C. T a y l o r, On the history of geometrical continuity (Cambridge Proc., 1880 und 1881).

36 Doctrina triangulorum canonicae u. s. w. (Leyden, 1627).

37 Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII. (Opera Vietae, 1646).

38 Gergonnes Ann. 17.

39 J a c o b i, Journ. für Math. 3; R i c h e l o t, das. 5, 38; R o s a n e s und P a s c h, ebendas. 64; L é a u t é, Comptes rendus, 79; F e r g o l a, P a d e l e t t i und T r u d i, Napoli Rend. 21; S i m o n, Journ. für Math. 81; G u n d e l f i n g e r, das. 83; H a l p h e n, Liouvilles Journ. III, 5; Bull. de la Soc. philom. VII, 3. Man sehe auch die interessante Abhandlung von H u r w i t z: Über unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere über die Schliessungsprobleme (Math. Ann. 15) und die Note von F o r s i t h, On in- and circumscribed polyhedra (Proc. Math. Soc. 1883).

40 In deutscher Übersetzung von S o h n c k e: Geschichte der Geometrie, hauptsächlich in Bezug auf die neueren Methoden (Halle, 1839), jedoch ohne das Mémoire sur deux principes généraux de la science (vgl. die folgende Note). Das französische Original erschien 1875 in 2. Auflage.

41 Unter den Arbeiten, welche das Werk von C h a s l e s bilden, verdient eine besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der Aperçu historique als Einleitung dienen sollte) Sur deux principes généraux de la Science, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation) und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der beiden Fälle, in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen auf das Studium der Flächen zweiten Grades und der geometrischen Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen Koordinatensystems. Auch müssen noch die Noten erwähnt werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von großer Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anführen, in denen die Theorie des Doppel-oder anharmonischen Verhältnisses und der Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flächen zweiten Grades, viele Lehrsätze über die kubischen Raumkurven, glückliche Versuche, die Sätze von Pascal und Brianchon auf die Flächen zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.

42 Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen P o n c e l e t, C h a s l e s und B o b i l l i e r zu Gegnern hatten P l ü c k e r, S t e i n e r und M a g n u s und deren Hauptschauplatz das Bulletin von F é r u s s a c war. — Hier würde es am Orte sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafür würde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, nötig sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten gewisse Produktionen der menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Köpfen hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklärung dieser Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes zu suchen. Daß solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der modernen Geometrie eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse (man vergleiche dazu den Ausspruch D u p i n s [Développements de géométrie], der als Motto auf dem Traité des propriétés projectives des figures steht, mit der Vorrede der Systematischen Entwickelung und mit dem Aperçu historique an verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden dienen sollten zur Führung in dem Labyrinthe von Hilfssätzen, Lehrsätzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren überliefert sind.

43 Die hauptsächlichste Arbeit von M ö b i u s auf dem Gebiete der reinen Geometrie ist die mit dem Titel: Der barycentrische Calcul (Leipzig, 1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt (Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese führt zu einem neuen Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und ebenen Kurven und der Oberflächen der Verfasser darlegt. In demselben werden ferner methodisch und in großer Ausführlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die heute noch fortwährend Anwendung finden, betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bände der Gesammelten Werke von Möbius, herausgegeben auf Veranlassung der Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)

44 Ich meine das Werk: Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (Berlin, 1832), in dem »der Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind«. — Die späteren Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das angeführte Werk stützen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu hatte, den Inhalt durch die schon angeführten Worte zu charakterisieren. Steiners Gesammelte Werke sind auf Veranlassung der Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).

45 Des Näheren will ich hier nur die drei Bücher anführen: Analytisch-geometrische Entwickelungen (Essen, 1828-1831), System der analytischen Geometrie (Berlin, 1835), Theorie der algebraischen Kurven (Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in Gergonnes Ann. und im Journ. für Math. veröffentlicht sind.

46 Das Werk, in welchem S t a u d t sein System der Geometrie dargelegt hat, wurde im Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel: Geometrie der Lage. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stieß; heute erst sind, dank den von R e y e (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und) unter demselben Titel veröffentlichten Vorlesungen die in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschäftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Ländern eine Übersetzung desselben angefertigt.
Nicht weniger wichtig sind die Beiträge zur Geometrie der Lage (in 3 Heften), welche S t a u d t seiner Geometrie der Lage 1866-1860 folgen ließ. Wir beschränken uns darauf, hervorzuheben, daß dort die einzige strenge, allgemeine und vollständige Theorie der imaginären Elemente in der projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in verschiedener Weise von mehreren Geometern, L ü r o t h (Math. Ann. 8, 11), A u g u s t (Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin, 1872) und S t o l z (Math. Ann. 4) erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung mit den »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von L ü r o t h noch zwei Arbeiten von S t u r m (Math. Ann. 9) und S c h r ö d e r (ebendas. 10).

47 Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird mancher, indem er bedenkt, daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach reiflicher Prüfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die von mir gewählte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.

48 C ô t e s, Harmonia mensurarum (1722); M a c l a u r i n, De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus. (Ins Französische übersetzt von d e J o n q u i è r e s und seinen Mélanges de Géométrie pure [Paris, 1856] angehängt.)

49 Miscellanea analytica etc. (1762); Proprietates geometricarum curvarum (1772); Phil. Trans. 1763-1791.

50 Geometria organica (1720).

51 Phil. Trans. 1735; Exercitationes Geometriae de descriptione linearum curvarum (1733).

52 Übrigens hat, wie C. T a y l o r (Cambridge Proc. 3) bemerkte, Newton selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der Enumeratio linearum tertii ordinis auf Kurven höherer Ordnung ausgedehnt.

53 Usage de l’analyse de Descartes (1740).

54 Introductio in analysin infinitorum. 2. Bd.

55 Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques.

56 Kurz vor der Veröffentlichung des C r a m e r schen Werkes fand E u l e r (man sehe die Berliner Abh. 1748), daß von den neun Grundpunkten eines Büschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht übrigen bestimmt ist.

57 Gergonnes Ann. 17, 19.

58 Journ. für Math. 16; Theorie der algebraischen Curven (wo S. 12-13 sich eine kurze Geschichte dieser Sätze findet).

59 Journ. für Math. 15.

60 Cambridge Journ. 3; vgl. B a c h a r a c h, Math. Ann. 26.

61 R i e m a n n, Journ. für Math. 54; C l e b s c h, das. 58; R o c h, ebendas. 64; C l e b s c h und G o r d a n, Theorie der Abelschen Funktionen (Leipzig, 1866); B r i l l und N ö t h e r, Über die algebraischen Funktionen u. s. w. (Math. Ann. 7); C r e m o n a, Bologna Mem. 1870; C a s o r a t i, C r e m o n a und B r i o s c h i, Lombardo Rend. II, 2.

62 In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem »Prinzipe der Abzählung der Konstanten« Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir wollen dasselbe erwähnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode stützt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele von Irrtümern anführen lassen, zu denen es führen kann, wenn es ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird.
Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden Bücher, deren Existenz ich aus einer Anführung Plückers kenne (Theorie der algebraischen Curven, S. 206); A. P e t e r s, Neue Curvenlehre 1835; C. C. F. K r a u s e, Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere scientificae specimina quinque prima. Edidit Schröder, 1835.

63 S. auch eine Abhandlung P l ü c k e r s, Liouvilles Journ. 1.

64 Mém. prés. 1730-31-32.

65 S. die in Note 54 citierte Introductio.

66 Hierzu siehe C l e b s c h, Vorlesungen über Geometrie, S. 352; M a l e t, Hermathema, 1880; P e l l e t, Nouv. Ann. II., 20, 1881.

67 C a y l e y, Quart. Journ. 7 und Journ. für Math. 64; L a G o u r n e r i e, Liouvilles Journ. II, 14; N ö t h e r, Math. Ann. 9; Z e u t h e n, das. 10; H a l p h e n, Comptes rendus 78, Liouvilles Journ. II, 2, Mém. prés. 26; J. S. S m i t h, Proc. math. Soc. 6; B r i l l, Math. Ann. 16; R a f f y, das. 23. — An diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Z e u t h e n, Acta math. 1.

68 Journ. für Math. 40; vgl. C l e b s c h (das. 63).

69 Journ. für Math. 36, 40, 41.

70 Phil. Mag. Oktoberheft 1858.

71 Phil. Trans. 1859.

72 z. B. D e r s c h, Math. Ann. 7.

73 A Treatise on higher plane curves (1852); ins Deutsche übertragen durch Fiedler (Leipzig, 1873)

74 Gergonnes Ann. 19.

75 Journ. für Math. 24. — Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven und Oberflächen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von C l i f f o r d (1845-1879) (Proc. math. Soc. 1868 oder Mathematical Papers of Clifford, 1882, S. 115) und von R e y e (Journ. für Math. 72, 78) verallgemeinert. D e P a o l i s widmete ihr eine interessante Schrift, welche in den Lincei Mem. 1885-1886 veröffentlicht ist.

76 Comptes rendus, 1853.

77 Essai sur la génération des courbes géométriques, 1858 (Mém. prés. 16). Vgl. H ä r t e n b e r g e r, Journ. für Math. 58; O l i v i e r das. 70, 71; S c h o u t e, Nieuw Archief voor Wiskunde, 4, und die allerneuesten Untersuchungen von J o n q u i è r e s über die Maximalzahl der vielfachen Punkte, die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (Comptes rendus 105).

78 Veröffentlicht im Jahre 1862 in den Bologna Mem. Möge es mir gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, daß der berühmte C r e m o n a, dessen Interesse für die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist, seine berühmten Schriften über die Theorie der Kurven und Oberflächen durch neue Ausgaben allen zugänglich machen wolle. — Diese Schriften sind in deutscher Übersetzung von C u r t z e unter dem Titel: Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven (Greifswald, 1865), bez. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen in synthetischer Behandlung (Berlin, 1870) erschienen.

79 Als Vorbereitung für solche Untersuchungen sind die von A r o n h o l d (Berliner Ber. 1861) anzusehen, dann die von B r i o s c h i (Comptes rendus, 1863, 64) über die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.

80 Journ. für Math. 58, 64. Die von C l e b s c h erhaltenen Resultate haben sich infolge des schönen Werkes von L i n d e m a n n, welches den Titel trägt: Vorlesungen über Geometrie von A. C l e b s c h (I. Bd. Leipzig, 1876) und von dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewünscht wird, schnell verbreitet.

81 Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie. Math. Ann. 7.

82 Zu den im Texte angeführten Schriften müssen noch die von B r i l l hinzugezogen werden (Math. Ann. 13), ferner die von G e i s e r (Annali di Matem. II, 9) und die von D e l P e z z o (Napoli Rend. 22) über den Zusammenhang, der zwischen den Singularitäten einer Kurve und denen ihrer Hesseschen Kurve besteht; ferner die von L a g u e r r e (Comptes rendus 40) und H o l s t (Math. Ann. 11 und Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 7), über die metrischen Eigenschaften der Kurven.

83 De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus.

84 Vgl. S a l m o n - F i e d l e r, Höhere ebene Kurven, 5. Kap.

85 Phil. Trans. 1857; Liouvilles Journ. 9, 10.

86 Journ. für Math. 42.

87 Zeitschr. f. Math. 17; Prager Ber. 1871. — Man sehe auch das Buch Die ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von G e n t (Zeitschr. f. Math. 17).

88 Giorn. di Matem. 2.

89 Journ. für Math. 90.

90 Prager Abh. VI, 5.

91 Göttinger Nachr. 1871 und 1872.

92 Journ. für Math. 78.

93 Hierzu H a r n a c k, Math. Ann. 9. C a p o r a l i, Lincei Atti, III, 1; F o l i e und L e P a i g e, Mémoires de l’Académie de Belgique, 43. H a l p h e n, Math. Ann. 15; Bull. Soc. math. 9.

94 Siehe Giorn. di Matem., Lombardo Rend., Math. Ann., Wiener Ber. und Prager Ber.

95 Für die C l e b s c h schen Arbeiten sehe man die in Note 80 angeführten Bände des Journ. für Math. nach. Über die ebenen rationalen Kurven dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von D u r è g e (Math. Ann. 1), I g e l (das. 6), R o s e n o w (Dissertation, Breslau, 1873), S c h u b e r t (Math. Ann. 12), D i n g e l d e y (das. 27, 28); über die Kurven vierter Ordnung die von B r i l l (Math. Ann. 12) und N a g e l (das. 19); über die fünfter Ordnung von R o h n (das. 25), und über die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften von H a a s e (Math. Ann. 2), von L ü r o t h (das. 9), P a s c h (das. 18), B r i l l (das. 20), von W e l t z i e n (das. 26) und G a r b i e r i (Giorn. di Matem. 16).

96 Journ. für Math. 47; Comptes rendus, 1871.

97 Journ. für Math. 53.

98 G ü ß f e l d t, Math. Ann. 2; L a g u e r r e, Bull. Soc. math. 7; C r e m o n a und C l e b s c h, Journ. f. Math. 64; K i e p e r t, Zeitschr. f. Math. 17; F r a h m ebendas. 18; M i l i n o w s k i das. 19; I n t r i g i l a, Giorn. di Matem. 23; K a n t o r, Wiener Ber. 1878 und Bull. Sciences math. II, 3.

99 Giorn. di Matem. 15.

100 Journ. für Math. 65.

101 Math. Ann. 4.

102 Bull. de la Société philomathique, VII, I.

103 Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das Quadrat des vermittelst einer primären Transformation ungerader Ordnung transformierten Moduls und schließlich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F(α, β, γ) = 0. Siehe Proc. math. Soc. 9.

104 Journ. f. Math. 65; vgl. E d. W e y r das. 73; H u r w i t z, Math. Ann. 19.

105 Math. Ann. 24.

106 Journ. für Math. 95, 99; siehe auch die Abhandlung von A u g u s t, Grunerts Arch. 59.

107 Transactions of the Royal Society of Edinburgh 25.

108 Math. Ann. 5.

109 Math. Ann. 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von H a r n a c k in der Zeitschr. f. Math. 22. Die hauptsächlichsten von D u r è g e und S c h r ö t e r auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsätze sind analytisch von W a l t e r in seiner Dissertation Über den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit den Kegelschnittscharen (Gießen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften S c h r ö t e r s über die Kurven dritter Ordnung können wir nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung (Leipzig, 1888) hinzufügen.

110 Math. Ann. 5.

111 Math. Ann. 1, 13; vgl. C l e b s c h, Journ. für Math. 59.

112 Irish Trans. 1869.

113 Siehe dessen Werk, Sur une classe remarquable de courbes et surfaces algébriques (Paris, 1873).

114 Journ. für Math. 57, 59, 66.

115 Tidsskrift for Mathematik, IV, 3.

116 Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn 1879.

117 Erschienen in den Collectanea mathematica in memoriam D. C h e l i n i (Mailand, 1881).

118 Journ. für Math. 28, 34, 38.

119 Journ. für Math. 49, 55; vgl. auch C a y l e y (das. 58).

120 Journ. für Math. 49.

121 Berliner Ber. 1864, sowie Nouv. Ann. II, 11.

122 Math. Ann. 1; Journ. für Math. 72.

123 Vgl. Note 80.

124 Journ. für Math. 66. — Über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: R i e m a n n, Zur Theorie der Abelschen Funktionen für den Fall p=3. Gesammelte Werke (Leipzig, 1876), S. 456-499; N ö t h e r, Math. Ann. 15; C a y l e y, Journ. für Math. 94; F r o b e n i u s (das. 99); F r e y b e r g, Math. Ann. 17; H. W e b e r (ebendas. 23).

125 Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die M o n g e sche Schule an der Schöpfung der Theorie der Flächen zweiten Grades hatte, zu überzeugen, genügt es, sich folgendes zu vergegenwärtigen: Ihr verdanken wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (M o n g e, Journ. Éc. polyt. 1) und die Erzeugung aller Flächen zweiten Grades, mit Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises (H a c h e t t e, Éléments de Géométrie à trois dimensions). M o n g e und H a c h e t t e verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung; M o n g e (Correspondance sur l’École polytechnique) die Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren Kanten eine Fläche zweiter Ordnung berühren, und B o b i l l i e r (Gergonnes Ann. 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Triëder, deren Seitenflächen eine Fläche zweiter Ordnung berühren; M o n g e bestimmte die Krümmungslinien des Ellipsoides (Journ. Éc. polyt. 2); L i v e t (das. 13) und B i n e t (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsätze des A p o l l o n i u s auf den Raum aus, während C h a s l e s (Correspondance sur l’Éc. polyt.) andere analoge Sätze gab; D u p i n (Journ. Éc. polyt. 14) machte einige interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflächen bekannt. B r i a n c h o n (das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Fläche zweiten Grades ebenfalls eine Fläche zweiten Grades sei, u. s. w.

126 Journ. für Math. 12.

127 Irish Proc. 2.

128 Aperçu historique, Note 25, 28, 31, 32; Comptes rendus, 1855; Liouvilles Journ. 1860 u. s. w.

129 Journ. für Math. 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.

130 Grunerts Arch. 9.

131 Journ. für Math. 62. Über die Oberflächen zweiter Ordnung sehe man auch die Abhandlungen von T o w n s e n d (Cambridge Journ. 3), von D a r b o u x (Bull. Soc. Math. 2), von M e r a y und C r e m o n a (Annali di matem. I, 3) u. s. w. und die Géométrie de direction (Paris, 1869) von P. S e r r e t.
Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der T h e o r i e der Flächen zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von S e y d e w i t z (Grunerts Arch. 9), C h a s l e s (Comptes rendus, 1855), S t e i n e r (Gesammelte Werke, II. Bd., Nachlass), S c h r ö t e r (Journ. für Math. 62), S t u r m (Math. Ann. 1) und D i n o (Napoli Rend. 1879) gelöst. — Daran knüpft sich die Untersuchung des achten Punktes, der allen Flächen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von H e s s e (Journ. für Math. 20, 26, 73, 75, 99), P i c q u e t (das. 73, 99), C a s p a r y, S c h r ö t e r, S t u r m, Z e u t h e n (das. 99) und R e y e (das. 100).
Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flächen zweiten Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flächen zweiten Grades reziproke Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von B a t t a g l i n i behandelt (Lincei Atti, 1875), von d ' O v i d i o (Giorn. di Matem. 10) und synthetisch von T h i e m e (Zeitschr. f. Math. 22).
Über einige Flächen zweiten Grades, welche besondere metrische Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben geschrieben: S t e i n e r (Journ. für Math. 2 und Systematische Entwickelung), C h a s l e s (Liouvilles Journ. 1 [1836]), S c h r ö t e r (Journ. für Math. 85), S c h ö n f l i e ß (Zeitschr. für Math. 23, 24 und Journ. für Math. 99), V o g t (Journ. für Math. 86) und R u t h (Wiener Ber. 80).
Zu den neuesten Studien über die Flächen zweites Grades gehören die von Z e u t h e n (Math. Ann. 19, 26) über die Theorie der projektiven Figuren auf einer solchen Fläche; daran schließen sich auch einige schöne Untersuchungen, welche V o ß gemacht hat (Math. Ann. 25, 26), um gewisse Resultate von P o n c e l e t und B r u n o (Torino Atti 17) weiter auszudehnen. Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie bemerkenswert, welche S t a u d e (Math. Ann. 20, 21, 25, 27) gemacht hat.

132 Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen Lehrbüchern diesen Oberflächen gewidmet haben: H e s s e (Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes), S a l m o n (Analytische Geometrie des Raumes), C r e m o n a (Preliminari di una teoria geometrica delle superficie), R e y e (Die Geometrie der Lage) und S c h r ö t e r (Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung).

133 Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science (Anhang zum Aperçu historique).

134 Gergonnes Ann. 17.

135 Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques. (Journ. für Math. 4).

136 Cambridge Journ. 2, 4; Irish Trans. 23.

137 Cambridge Journ. 7, 8; Phil. Trans. 1869, 71 u. 72. Man sehe auch die von Z e u t h e n in den Math. Ann. 4, 9, 10, von J o n q u i è r e s in den Nouv. Ann. 13 und von H a l p h e n in den Annali di Matem. II, 9 veröffentlichten Abhandlungen.

138 Journ. für Math. 15.

139 Math. Ann. 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von P a d o v a im Giorn. di Matem. 9, sowie eine von V a l e n t i n e r, Tidsskrift for Mathematik IV, 3.

140 Comptes rendus 45.

141 Preliminari di una teoria geometrica delle superficie. (Bologna Mem. II, 6, 7).

142 Wiener Ber. 1877, 1882.

143 Math. Ann. 27.

144 Journ. für Math. 49.

145 Cambridge Journ. 4; Quart. Journ. 1; Phil. Trans. 1860.

146 Journ. für Math. 58, 63.

147 Journ. für Math. 72.

148 Math. Ann. 10, 11, 12; Abzählende Geometrie, 5. Abschnitt. S. auch K r e y, Math. Ann. 15.

149 Math. Ann. 23.

150 Journ. für Math. 72, 78, 79, 82.

151 Geometry of three dimensions; in deutscher Übersetzung von F i e d l e r: Analytische Geometrie des Raumes in zwei Bänden (3. Auflage, 1879/80).

152 Preliminari etc. Vgl. Note 141.

153 Vgl. die in Note 136 und 137 angeführten Arbeiten.

154 Cambridge Journ. 6.

155 Auch im Journ. für Math. 53 publiziert.

156 Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von C a y l e y und S a l m o n im Zusammenhange steht, ist eine von S c h l ä f l i (Quart. Journ. 2), die besonders dadurch wichtig ist, daß sie die erste ist, welche den Begriff der »Doppelsechs« enthält.

157 Journ. für Math. 62.

158 Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis (Berlin, 1862).

159 Journ. für Math. 68; ferner Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Übersetzung der in Note 141 und 152 zitierten »Preliminari« und diejenige dieser Preisschrift (durch C u r t z e) vereinigt sind.

160 Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung. Leipzig, 1867.

161 Journ. für Math. 51; vgl. eine von S c h r ö t e r (das. 96) veröffentlichte Abhandlung.

162 Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. — Man sehe auch S c h u b e r t, Math. Ann. 17.

163 Grunerts Arch. 56.

164 Bull. soc. math. 4.

165 Acta math. 3.

166 Lombardo Rend. März 1871.

167 Grunerts Arch. 56.

168 Math. Ann. 23.

169 Lombardo Rend. 1884; Annali di Matem. II, 12.

170 Math. Ann. 13; Lincei Mem. 1876-1877.

171 Napoli Rend. 1881.

172 Journ. für Math. 78.

173 Lombardo Rend. 1879.

174 Acta math. 5.

175 Phil Trans. 1863; vgl. C a y l e y (das. 1869).

176 Math. Ann. 14.

177 Lombardo Atti, 1861.

178 Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde u. s. w. Leipzig, 1869; Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde, Leipzig, 1870.

179 Über die geradlinige Fläche dritter Ordnung und deren Abbildung auf eine Ebene. (Dissertation. Straßburg, 1876.)

180 Math. Ann. 4.

181 Phil. Mag. 1864.

182 Math. Ann. 10.

183 Phil. Trans. 150.

184 Journ. für Math. 58.

185 Math. Ann. 5.

186 Lincei Mem. 1880-1881. Man sehe auch eine Note von B r i o s c h i in den Lincei Atti II, 3, in welcher bewiesen wird, daß die 45 dreifach berührenden Ebenen einer Oberfläche dritter Ordnung dreien Oberflächen zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand B a u e r (Abh. der Bayr. Akad. der Wiss. 14, 1883) analytisch von neuem, was S t u r m schon 1867 in seinen Synthetischen Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung erkannt hatte, daß die Schnittkurve einer Oberfläche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen Fläche für b e i d e eine parobolische Kurve ist; ein bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten Satze über die ebene kubische Kurve ist.

187 Liouvilles Journ. II, 14; Traité des substitutions et des équations algébriques (Paris, 1870).

188 Traité des propriétés projectives des figures.

189 Comptes rendus, 1862.

190 Ebendas., 1861.

191 Phil. Trans. 1864.

192 Bologna Mem. 1868.

193 Berliner Ber. 1864; Journ. für Math. 64.

194 Nouv. Ann. II, 5.

195 Die D u p i n sche Cyklide gehört zu diesen.

196 Vgl. Comptes rendus 1864.

197 Die Untersuchungen von D a r b o u x finden sich in dem schon angeführten Buche: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques (Paris, 1873) zusammengefaßt.

198 S. die Aufzählung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note zitierten Werkes sich findet, und die Notice sur la vie et les travaux de M. Laguerre, veröffentlicht von P o i n c a r é in den Comptes rendus 104.

199 Phil. Trans. 1871.

200 Lombardo Rend. 1871.

201 Journ. für Math. 70.

202 Math. Ann. 4.

203 Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit (Kopenhagen, 1879). Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Übersetzung in den Annali di Matem. II, 14 veröffentlicht.

204 Journ. für Math. 69.

205 Math. Ann. 1, 2, 3, 4.

206 Annali di Matem. II, 13.

207 Leipziger Dissertation (Greifswald, 1885).

208 Math. Ann. 19.

209 Torino Mem. II, 36.

210 Math. Ann. 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberfläche vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von B o b e k (Wiener Ber. 11. und 18. Dez. 1884) und eine von V e r o n e s e (Atti dell’ Istituto Veneto, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man eine Abhandlung von S a l t e l (Bull. Soc. math. 3).

211 W e i e r s t r a ß, Berliner Ber. 1863.

212 Unter den Eigenschaften der römischen Fläche von S t e i n e r verdient eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von C r e m o n a und C l e b s c h nachgewiesene) Eigenschaft, daß sie zu asymptotischen Kurven (Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere Eigenschaft derselben wurde von D a r b o u x (Bull. sciences math. II, 4) entdeckt und besteht darin, daß sie die einzige Fläche ist, außer den Flächen zweiten Grades und den Regelflächen dritten Grades, bei welcher durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat P i c a r d (Journ. für Math. 100) gezeigt, daß sie die einzige nicht geradlinige Oberfläche ist, deren sämtliche ebene Schnitte rationale Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine Note von G u c c i a in den Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1. — L i e machte (Archiv for Math. og Naturvidenskab. 3) die interessante Bemerkung, daß der Ort der Pole einer Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Fläche eine ebensolche Fläche ist.

213 Journ. für Math. 63; Lombardo Rend. 1867.

214 Journ. für Math. 64.

215 Math. Ann. 3.

216 Journ. für Math. 64; Proc. math. Soc. 5.

217 Giorn. di Matem. 1; Bologna Mem. 1879.

218 Journ. für Math. 67.

219 Math. Ann. 5.

220 Nouv. Ann. II, 11, 12; Bull. Soc. math. 1.

221 La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione analitica mediante le forme ternarie quadratiche (Torino, 1881).

222 Berliner Abh. 1866 und Berliner Ber. 1864.

223 Diese Oberfläche hat eine fundamentale Bedeutung in der mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, daß die Bestimmung der Ebenen, welche sie längs Kreisen berühren, H a m i l t o n zur Entdeckung der konischen Refraktion führte, einer Erscheinung, welche der Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen verschiedener Gelehrten, insbesondere M a n n h e i m s (Comptes rendus, 78, 81, 85, 88, 90; Association franç. pour l’avanc. des sciences 1874, 75, 76, 78), Proc. Roy. Soc. 1882; Collectanea mathematica u. s. w.

224 Liouvilles Journ. 11; Journ. für Math. 87. Vgl. eine Abhandlung von S e g r e im Giorn. di Matem. 21. Andere Spezialfälle der Kummerschen Fläche wurden von R o h n und S e g r e (Leipziger Ber. 1884) studiert.

225 Diese Eigenschaft der Kummerschen Fläche veranlaßte eine Untersuchung über die Oberflächen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine Untersuchung, die schon von K u m m e r und C a y l e y unternommen ist, Berliner Ber. 1878.

226 Berliner Ber. 1870, oder Math. Ann. 23.

227 Journ. für Math. 97; vgl. S e g r e das. 98.

228 Journ. für Math. 83, 94; oder Borchardts Gesammelte Werke (Berlin, 1888, S. 341); vgl. B r i o s c h i und D a r b o u x, Compt. rend., 1881.

229 Journ. für Math. 84.

230 S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und für die Geschichte der Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberfläche die Einleitung der Abhandlung von R o h n, Math. Ann. 15.

231 Journ. für Math. 70.

232 Münchener Dissertation, 1878; Math. Ann. 15.

233 Die anderen Oberflächen vierter Ordnung mit singulären Punkten wurden von C a y l e y studiert (Proc. math. Soc. 1870, 1871), vollständiger von R o h n in einer sehr schönen Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft kürzlich prämiiert ist (vgl. Math. Ann. 29). Endlich wurden die von Flächen zweiten Grades eingehüllten Flächen vierter Ordnung von K u m m e r untersucht, Berliner Ber. 1872.

234 On the quartic surfaces (+) (u, v, w)² = 0 (Quart. Journ. 10, 11); On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical determinant = 0 (Quart. Journ. 14).

235 Bekanntlich nennt man nach C a y l e y ein Monoid eine Oberfläche n^ter Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.

236 Math. Ann. 24; vgl. auch die Dissertation von L a m p e, Berlin, 1864.

237 Math. Ann. 18, 17. Außer den im Texte zitierten Oberflächen wurden noch andere spezielle Flächen studiert, die ich der Kürze wegen übergehen muß; der größere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe § VI.

238 Correspondance mathématique 9; Liouvilles Journ. 2.

239 Cambridge Journ. 8 und Irish Trans. 23.

240 Phil. Trans. 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben C a y l e y und S a l m o n die Regelflächen bearbeitet als die Örter der Geraden, die drei gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen, oder Trisekanten einer Kurve sind. R u p p hat neuerdings diese Betrachtungen wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (Math. Ann. 18).

241 Annali di Matem. II, 1.

242 Traité de géométrie descriptive, Art. 629 u. 635.

243 Math. Ann. 8, 12, 13.

244 Comptes rendus, 1862; vgl. d ' O v i d i o und D i n o, Giorn. di Matem. 3.

245 Dissertation, gedr. zu Berlin 1864, und Journ. für Math. 67.

246 Recherches sur les surfaces réglées tetraédrales symétriques (Paris, 1867). Ich bemerke, daß ein Büschel von Oberflächen, die in Bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbüschel eine bemerkenswerte Fläche erzeugt, die von E c k a r d t (Zeitschr. f. Math. 20) bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberfläche dritter Ordnung in sich schließt.

247 Math. Ann. 5.

248 Annali di Matem. II, 4.

249 Prager Abhandlungen VI, 5.

250 Mémoires de Bordeaux II, 3.

251 Über die Flächen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann. 7.

252 Lincei Mem. 1878-1879.

253 Math. Ann. 4.

254 Math. Ann. 27, 29. S. auch eine Abhandlung von E c k a r d t (daselbst 7).

255 Math. Ann. 3.

256 das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von D i n o, Napoli Rend. 19.

257 Comptes rendus, 52.

258 Journ. für Math. 68.

259 Math. Ann. 2.

260 Proc. math. Soc. 4; Comptes rendus, 1861; vgl. H u n g a d y Journ. für Math. 92.

261 K l e i n und L i e, Comptes rendus, 70.

262 F o u r e t, Bulletin de la Société philomatique, VII, 1.

263 J u n g, Lincei Rend. 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen über denselben Gegenstand, veröffentlicht von V i s a l l i (ebendas. 1886).

264 G o u r s a t, Ann. Ec. norm. III, 4; L e c o r n u, Acta math. 10.

265 Cfr. die bewunderungswerten Vergleichenden Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen von F. K l e i n (Erlangen, 1872).

266 Veröffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: Feuilles d’Analyse appliquée à la Géométrie. Die letzte (fünfte) Ausgabe wurde von L i o u v i l l e im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten bereichert.

267 Der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen überreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der Commentationes recentiores societatis Gottingensis. Diese Disquisitiones stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft herausgegebenen Werke von G a u ß, ferner in französischer Übersetzung in der angeführten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von M o n g e.

268 Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdrücke der Koordinaten der Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) = 0 die Gleichung der gegebenen Oberfläche, so ist die fragliche Enveloppe die der Oberfläche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.

269 Über solche Flächen sehe man die neue Arbeit von L i e (Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 7).

270 Vor M o n g e hatten sich schon E u l e r (Histoire de l’Académie de Berlin, 1766) und M e u n i e r (Mémoires de l’Académie des sciences de Paris 10, 1776) mit diesem Thema beschäftigt.

271 Unter den neueren Arbeiten über die Krümmungslinien führen wir nur die von H a m i l t o n, F r o s t und C a y l e y an, die sich als Aufgabe gestellt haben, zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (Quart. Journ. 12).

272 Vgl. hierzu eine von C r e m o n a veröffentlichte Arbeit in den Bologna Mem. III, 1. Wir führen hier auch einige Noten von D a r b o u x an (Comptes rendus, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Krümmungslinien einiger spezieller bemerkenswerter Flächen zum Zwecke haben.

273 Die Differentialgleichung der Minimalflächen verdanken wir L a g r a n g e (Miscellanea Taurinensia, 1760-1761); die geometrische Interpretation derselben wurde ein wenig später von M e u n i e r gegeben (vgl. Note 270).

274 An die in den §§ 18 und 21 der Application gemachten Untersuchungen knüpft sich eine Abhandlung von O. R o d r i g u e s, die sich in der Correspondance sur l’École polytechnique 3 findet.

275 Außer den Krümmungs- und asymptotischen Linien auf einer Fläche sind noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem beliebigen ihrer Punkte die Oberfläche selbst berührt. Dieselben wurden von D a r b o u x (Comptes rendus 83) und von E n n e p e r (Göttinger Nachrichten, 1871) studiert.

276 D u p i n fand (Applications de Géométrie et de Méchanique, 1822), daß die einzigen Oberflächen, bei denen sämtliche Krümmungslinien Kreise sind, die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so bewegt, daß sie immer drei feste Kugeln tangiert.

277 Liouvilles Journ. 13.

278 Journ. Éc. polyt. 19, 35; Comptes rendus 42.

279 Atti dell’ Accademia dei Quaranta, 1868-1869; Annali delle Università toscane, 1869; Annali di Matem. II, 1, 4.

280 Göttinger Abh. 13, 16, 23; Journ. für Math. 94.

281 Comptes rendus, 96.

282 das. 46.

283 Journ. Éc. polyt. 53.

284 Journ. für Math. 94.

285 Göttinger Dissertation, 1883.

286 Journ. für Math. 59.

287 Annali di Matem. I, 8.

288 Archiv for Math. og Naturvidenskab, 4; Bull. Sciences math. II, 4.

289 Journ. für Math. 62.

290 Berliner Ber. 1840; Journ. für Math. 24.

291 Berliner Ber. 1866.

292 Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig 4; Journ. für Math. 13.

293 Liouvilles Journ. II, 5.

294 das. I, 11.

295 Göttinger Abh. 13, oder Gesammelte Werke S. 283 und 417. N i e w e n g l o w s k i hat die R i e m a n n schen Untersuchungen in elementarer Form dargelegt in den Ann. Éc. norm. II, 9.

296 Berliner Ber. 1867.

297 Math. Ann. 1.

298 Akademiens Afhandlingar, Helsingfors, 1883.

299 Journ. Éc. polyt. 37.

300 Heidelberger Dissertation, 1875.

301 Comptes rendus 41; vgl. E n n e p e r, Zeitschr. f. Math. 7, 9.

302 Journ. Éc. polyt. 39.

303 Bestimmung einer speziellen Minimalfläche (Berlin, 1871). Vgl. C a y l e y, Quart. Journ. 14.

304 Journ. für Math. 80.

305 das. 87; Comptes rendus 96.

306 Zeitschr. f. Math. 14; Göttinger Nachr. 1866.

307 Liouvilles Journ. II, 8.

308 Bologna Mem. II, 7. Die wunderschöne Einleitung dieser Abhandlung enthält die Geschichte der Theorie der Minimalflächen.

309 Archiv for Math. og Naturv. 3, 4, 6; Math. Ann. 14, 15.

310 Journ. für Math. 81, 85.

311 Annali di Matem. II, 9.

312 Étude des élassoides. Mémoires couronnés par l’Académie de Belgique 44.

313 Giorn. di Matem. 22.

314 Lombardo Rend. 1876; Giorn. di Matem. 14.

315 Journ. für Math. 78.

316 Das Studium der Krümmung einer Oberfläche in einem singulären Punkte wurde von P a i n v i n im Journ. für Math. 72 angestellt.

317 Ein analoger Satz wurde neuerdings von S t u r m entdeckt (Math. Ann. 21).

318 Einige Vervollkommnungen und Ergänzungen dieses Teiles der Gaußischen Abhandlung wurden von L i o u v i l l e (Journ. Éc. polyt. 24), von B a l t z e r (1818-1887) (Leipziger Berichte 1872) und durch v o n E s c h e r i c h (Grunerts Arch. 57) vorgenommen.

319 Der Satz von G a u ß: »Damit eine Oberfläche auf eine andere abwickelbar sei, ist notwendig, daß die Krümmung in den entsprechenden Punkten gleich sei«, wurde auf verschiedene Arten von L i o u v i l l e (Liouvilles Journ. 12), von B e r t r a n d, P u i s e u x und D i g u e t (das. 13) bewiesen. Vgl. auch M i n d i n g, Journ. für Math. 19.

320 Annali di Matem. II, 1.

321 Bologna Mem. II, 8.

322 Math. Ann. 1.

323 Comptes rendus 37.

324 das. 44, 46, 57, 67.

325 Annali di Matem. I, 7. — Das allgemeinere Problem der Bestimmung zweier Oberflächen, so daß jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und daß den geodätischen Linien der einen geodätische Linien der anderen korrespondieren, wurde später von D i n i behandelt. (Annali di Matem. II, 3).

326 Giorn. di Matem. 6.

327 Comptes rendus, 1865.

328 Archiv for Math. og Nat. 4, 5.

329 Giorn. di Matem. 16, 20, 21.

330 Lund Årskrift 19.

331 Comptes rendus 96, 97.

332 Acta math. 9.

333 Journ. für Math. 64.

334 Berliner Ber. 1882-1883. — Hieran schließt sich die Schrift v o n L i l i e n t h a l ' s: Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen Oberflächen und der geradlinigen Strahlensysteme (Bonn, 1886).

335 Journ. für Math. 26, 30. — J o a c h i m s t h a l s Vorlesungen: Anwendung der Differential-und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter Krümmung erschienen nach seinem Tode (Leipzig, 2. Auflage, 1881).

336 Göttinger Nachr. 1867.

337 Lombardo Atti II, 1.

338 Programm der Universität von Christiania, 1879.

339 Math. Ann. 20.

340 Journ. für Math. 6, 18, 19.

341 Journ. Éc. polyt. 39.

342 Mém. prés. 27 (1879) (Mémoire relatif à l’application des surfaces les unes sur les autres).

343 Journ. Éc. polyt. 41, 42.

344 Berliner Abh., 1869.

345 Journ. für Math. 94.

346 Berliner Ber. 1882.

347 Münchener Abh. 14.

348 Journ. für Math. 6.

349 Irish Trans. 22, I. T.

350 Giorn. di Matem. 2.

351 Göttinger Nachr. 1875.

352 Giorn. di Matem. 21.

353 Journ. Éc. polyt. 48.

354 Bologna Mem. IV, 3.

355 Mém. prés. 5; Liouvilles Journ. 2. — Unter den vielen Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen wir nur diejenigen anführen, die J a c o b i davon gemacht hat bei der Bestimmung der geodätischen Linien (Journ. für Math. 14; Comptes rendus 8; Liouvilles Journ. 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S. Vorlesungen über Dynamik, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als Supplementband zu den Gesammelten Werken erschienen.

356 Journ. Éc. polyt. 23.

357 Liouvilles Journ. 5.

358 das. 4.

359 das. 8.

360 Comptes rendus 48, 54; Journ. für Math. 58; Annali di Matem. I, 6 und II, 1, 3, 5.

361 Annali di Matem. II, 1.

362 das. II, 1, 2, 4, 5.

363 Bologna Mem. 1868-1869.

364 Ann. Éc. norm. II, 7.

365 Ann. Éc. norm. I, 4.

366 Journ. Éc. polyt. 43.

367 Annales des mines VII, 5.

368 Liouvilles Journ. 11.

369 das. 12.

370 Comptes rendus 54.

371 Mémoires couronnés par l’Académie de Belgique, 32.

372 Comptes rendus 59.

373 das. 59, 60, 67, 76; Ann. Éc. norm. I, 2; II, 3.

374 Comptes rendus 74, 75; Phil. Trans. 163. Vgl. W e i n g a r t e n, Journ. für Math. 83.

375 Comptes rendus 76.

376 Journ. für Math. 85.

377 das. 76; vgl. D a r b o u x, Comptes rendus 84.

378 Grunerts Arch. 55, 56, 57, 58 und 63.

379 Giorn. di Matem. 21, 22; Annali di Matem. II, 13; Lincei Rend. 1886.

380 Mémoires de l’Académie de Toulouse VIII, 1.

381 Archiv for Math. og Naturv. 7.

382 Göttinger Abh. 19. — Wenn u der Winkel der Normalen der Oberfläche in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion derselben auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach E n n e p e r Kurven, deren Gleichungen u = const. oder v = const. sind, Meridiankurven.

383 Comptes rendus 74; Proc. math. Soc. 4.

384 Berliner Ber. 1883.

385 Göttinger Dissertation, 1883.

386 Giorn. di Matem. 17.

387 Mémoires de la société scientifique de Bruxelles 5, 7, 8.

388 Ann. Éc. norm. II, 3; Journ. Éc. polyt. 53.

389 Liouvilles Journ. 9, 12.

390 Journ. Éc. polyt. 30, 32; Liouvilles Journ. 14; Comptes rendus 54.

391 Man sehe auch die Thèse (Dissertation) von P i c a r t, Essai d’une théorie géométrique des surfaces (Paris, 1863).

392 Liouvilles Journ. II, 17 und III, 4; Bull. Soc. math. 2, 5, 6; Comptes rendus 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; Proc. math. Soc. 12; The Messenger of Mathematics II, 8.

393 Enumeratio linearum tertii ordinis (1706). Indem wir eine Bemerkung von B e l l a v i t i s (1803-1880) verwerten (s. § 107 der Schrift Sulla classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Società italiana delle scienze residente in Modena, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir dieses Resultat wieder, indem wir sagen, daß jede Kurve dritter Ordnung sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden Formen bringen läßt: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem Ovale (parabola campaniformis cum ovali), Kurve mit einem Doppelpunkte (parabola nodata), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (parabola pura), Kurve mit einem isolierten Punkte (parabola punctata), Kurve mit einer Spitze (parabola cuspidata). Unter den Beweisen, die für diesen Satz gegeben sind, führe ich den von M ö b i u s an, der sich auf die Prinzipien der analytischen Sphärik gründet (Gesammelte Werke, II. Bd. S. 89-176), und den, der aus der Klassifikation von B e l l a v i t i s (s. oben) hervorgeht. An M ö b i u s schließt sich an: M. B a u r, Synthetische Einteilung der ebenen Kurven III. Ordnung (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, daß die Einteilungen, die von M ö b i u s und B e l l a v i t i s (fast gleichzeitig, da die erste 1852 veröffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855 veröffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, daß sie die Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinität zur Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. P l ü c k e r s Einteilung befindet sich im System der analytischen Geometrie. J. W. N e w m a n hat der British Association for the Advancement of Science (vgl. Report 1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewöhnlich üblichen abweicht.

394 Aperçu historique, Note 20.

395 Journ. für Math. 75 und 76. Wir können hinzufügen, daß R e y e im Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner Geometrie der Lage, der vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er sie als die J a c o b i schen Kurven von Kegelschnittnetzen auffaßte.

396 §§ 12, 13, 14, 15.

397 The Messenger of Mathematics II, 6.

398 Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven, speziell der rationalen Kurven vierter und fünfter Ordnung (Münchener Dissertation, 1878).

399 Irish Trans. 1875.

400 Beiträge zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter Ordnung (Berliner Dissertation, 1884).

401 Math. Ann. 7, 10. S. übrigens die Abhandlung: Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver (Abh. der Akad. der Wissensch. in Kopenhagen V, 10).

402 Math. Ann. 12; Tidsskrift for Mathem. IV, 1.

403 Math. Ann. 10. Vgl. auch P e r r i n, Bull Soc. math. 6.

404 Theorie der algebraischen Kurven S. 249 flgg. — Im Anschluß an P l ü c k e r mögen noch B e e r s Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum (Bonn, 1862) erwähnt werden.

405 »Eine Kurve vom Geschlechte p kann höchstens aus p + 1 Zügen bestehen«. Math. Ann. 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit langer Zeit bekannt; schon B e l l a v i t i s hatte denselben in der vorher angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung unicursal, die von C a y l e y den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch heute gebraucht wird.

406 Gesammelte Werke 2, S. 433.

407 Math. Ann. 12, 13; Leipziger Ber. 1884.

408 Math. Ann. 6.

409 Annali di Matem. II, 5 und 7.

410 Math. Ann. 8.

411 Münchener Ber. 1883.

412 Quart. Journ. 9.

413 Siehe die schon zitierte Abhandlung: Om Flader af fjerde Orden med Doppeltkeglesnit.

414 Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit (Kopenhagen, 1881).

415 Münchener Dissertation, 1878; Math. Ann. 15, 18, 28, 29.

416 Für den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflächen befassen will, führe ich die praktischen Regeln an, welche H i c k s (Messenger of Mathematics II, 5) für die Konstruktion der Wellenfläche gegeben hat.

417 Zeitschr. f. Math. 25.

418 Modelle von Raumkurven-und Developpabelen-Singularitäten (Lund, Gleerup, 1881).

419 Unter den von S t e i n e r ausgesprochenen Sätzen, nach deren Ursprung wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s. Journ. für Math. 37, 45, 49; Gesammelte Werke, II. Bd. S. 389, 439 und 613), welche glauben lassen, daß er eine Methode besessen habe, um einige von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu lösen. Etliche lassen sich durch eine quadratische Transformation beweisen, wie B e r n e r in seiner Dissertation: De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas adhibita (Berlin, 1864) gezeigt hat. — J o n q u i è r e s (Liouvilles Journ. II, 6; Comptes rendus, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur Lösung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des Bézoutschen Satzes besteht) führte ihn unbedingt zu Irrtümern wegen uneigentlicher (fremder) Lösungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl. die schöne Abhandlung von S t u d y in den Math. Ann. 27.

420 Comptes rendus, 1864; vgl. auch Z e u t h e n, Nyt Bidrag til Laeren om Systemer af Keglesnit (Kopenhagen, 1865) oder Nouv. Ann. II, 5; D i n o, Comptes rendus, 1867. Die Bände der Comptes rendus von 1864 ab enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die von C h a s l e s aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stützt. Unter diesen Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier Kurven in einer Ebene bestimmt (Comptes rendus 75). Die dort angewandte Beweisführung kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu dienen, die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systemes von algebraischen Gleichungen zu finden. (S. S a l t e l, Mémoires de l’Académie de Belgique 24; Comptes rendus 81; F o u r e t, Bull. Soc. math. 1, 2; Comptes rendus 78.

421 Comptes rendus 61.

422 Ebendas. 62. S. auch S a l m o n, Quart. Journ. 1866; S c h u b e r t, Journ. für Math. 71 und 73. — Eine interessante Anwendung der Theorie der Systeme von Flächen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen (vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige algebraische Fläche wurde von Z e u t h e n gemacht (Annali di Matem. II. 4).

423 Vgl. auch Comptes rendus 74, 75.

424 Paris, 1871.

425 Journ. für Math. 79, 80.

426 Göttinger Nachr. 1874, 75; Math. Ann. 13.

427 Phil. Trans. 1858.

428 Recherches sur les séries ou systèmes de courbes et de surfaces algébriques (Paris, 1866); Comptes rendus, 1866; Journ. für Math. 66 u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von B r i l l und K r e y (Math. Ann. und Acta math.) haben zum Ziele die Auflösung von Problemen aus der abzählenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven und Oberflächen beziehen.

429 Annali di Matem. II, 6; Proc. math. Soc. 5, 6, 8.

430 Math. Ann. 1, 6, 12, 15.

431 Compt. rend. 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von Kurven.

432 Math. Ann. 6.

433 Comptes rendus 78 und 86; Bull. Soc. math. 2 und 7.

434 Comptes rendus 79, 86.

435 das. 82, 84.

436 das. 80.

437 das. 82.

438 Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von F o u r e t veröffentlichten Arbeiten in den Comptes rendus 83, 85, im Bull. Soc. math. 6 und im Bulletin de la Société philomathique VI, 11. — Wir bemerken, daß die geometrische Interpretation der Gleichung

L

(

x

∂z

+ y

∂z

- z

)

- M

(

∂z

)

- N

(

∂z

)

+ R = 0

∂x

∂y

∂x

∂y

wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von F o u r e t in den Comptes rendus 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflächen führte, die zuerst von K l e i n und L i e studiert worden waren (Comptes rendus 70).

439 Leipzig, 1879. In demselben sind die früheren Arbeiten von S c h u b e r t vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner späteren Arbeiten.

440 Das erste dieser Prinzipien wurde von C h a s l e s für die rationalen Gebilde erster Stufe (Comptes rendus 1864-1866) ausgesprochen und dann von C a y l e y auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (Comptes rendus 62, Proc. math. Soc. 1866), und noch vollständiger im Second memoir on the curves which satisfy given conditions (Phil. Trans. 158). Bewiesen wurde das Cayleysche Prinzip von B r i l l (Math. Ann. 6 und 7), neuerdings wurde es in einer sehr bemerkenswerten Weise von H u r w i t z ausgedehnt (Math. Ann. 28).

S a l t e l ergänzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte (Comptes rendus 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere Beispiele (Comptes rendus 80, 81, 82, 83, und Bulletin de l’Académie de Belgique II, 92).

Für die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein Korrespondenzprinzip, welches von S a l m o n (Geometry of three dimensions II. Aufl.) und von Z e u t h e n (Comptes rendus 78) entdeckt ist. Für die Gebilde höherer Stufe siehe eine Note von P i e r i in den Lincei Rend. 1887.

441 Betreffend andere bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig der Geometrie vgl. man den Artikel von P a i n v i n, der in dem Bull. Sciences math. 3 veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der Bibliotheca mathematica II, 2 (1888), S. 39, 67 veröffentlichten Artikel Notizie storiche sulla geometria numerativa.

442 Comptes rendus 67.

443 Math. Ann. 6.

444 Vorlesungen über Geometrie von A. C l e b s c h (herausgegeben von L i n d e m a n n) (Leipzig, 1876) S. 399.

445 Göttinger Nachr. 1876.

446 Comptes rendus, 1876; Journ. Éc. polyt. 45; Proc. math. Soc. 9, 10; Math. Ann. 15.

447 Journ. Éc. polyt. 45.

448 Auch von dem Satze, den C r e m o n a ausgesprochen hat (Annali di Matem. I, 6 und Giorn. di Matem. 3) über die doppelt unendlichen Systeme von Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von C h a s l e s, kann man eine Anwendung machen, worüber man das einsehen möge, was d e l P e z z o in seiner interessanten Abhandlung Sui sistemi di coniche (Napoli Rend. 1884) auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von S t u d y (Math. Ann. 27).

449 Mém. prés. 1, 1806.

450 das. (ältere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte Application.

451 Mém. prés. 9, 1781.

452 Journ. Éc. polyt. 30.

453 Liouvilles Journ. 17.

454 das. 16.

455 Man sehe die Noten zur Application de l’Analyse à la Géométrie, 5. Aufl. und Liouvilles Journ. 17.

456 Liouvilles Journ. 15, 16.

457 das. 7.

458 Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania, 1882.

459 Eingehenderes findet man in der Note 65 der Analytischen Geometrie des Raumes von G. S a l m o n, deutsch bearbeitet von W. F i e d l e r, 3. Aufl. 1880, II. Teil S. 37. — In Bezug auf eine synthetische Darstellung der Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man S c h e l l, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung (Leipzig, 1859), und P a u l S e r r e t, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes à double courbure (Paris, 1860).

460 Vgl. M a g n u s, Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie des Raumes, 1837, S. 160.

461 Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch S a l m o n im Jahre 1850 (Cambridge Journ. 5) und darauf von S t e i n e r (Journ. für Math. 53) bekannt gemacht.

462 Auf der kubischen Fläche treten schon von der sechsten Ordnung ab gegen die Geraden der Fläche verschiedenartig sich verhaltende Kurven derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte übereinstimmen. Vgl. S t u r m, Math. Ann. 21.

463 Liouvilles Journ. 10, oder Cambridge Journ. 5. Dieser Abhandlung folgte eine, die von S a l m o n in demselben Bande des Cambr. Journ. veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von Z e u t h e n, die in den Annali di Matem. II, 3 abgedruckt ist. — An sie schließen sich ferner die Schriften, welche C a y l e y (Phil. Trans. 153), P i q u e t (Comptes rendus 77 und Bull. Soc. math. 1), und G e i s e r (Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini, Mailand, 1881) geschrieben haben über die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse Anzahl Male schneiden.

464 Comptes rendus 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die Dissertation von E d. W e y r, Über algebraische Raumkurven (Göttingen, 1873) und andere Schriften desselben Verfassers (Comptes rendus 76, Wiener Ber. 69). Den zitierten Abhandlungen von C a y l e y müßte ich noch eine dritte hinzufügen (Quart. Journ. 3), in welcher der Autor sich die Aufgabe gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne Plückers) zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann davon absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht dargethan ist.

465 H a l p h e n, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques (Journ. Éc. polyt. 52). Man sehe auch desselben Autors Abhandlung Sur les singularités des courbes gauches algébriques (Bull. Soc. math. 9). — N ö t h e r, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumkurven (Berliner Abh. 1883, Journ. für Math. 93).

466 Comptes rendus 70; Bull. Soc. math. 1 und 2.

467 Math. Ann. 7.

468 Math. Ann. 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von H a l p h e n gegeben, Bull. Soc. math. 5.

469 Die Gerechtigkeit verlangt, daß ich auch noch eine sehr schöne Arbeit von V a l e n t i n e r anführe: Bidrag til Rumcurvener Theori (Kopenhagen, 1881) (vgl. auch Tidsskrift for Math. IV, 5 und Acta math. 2), die fast zu gleicher Zeit mit denen von H a l p h e n und N ö t h e r erschienen ist und mit diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte Berührungspunkte hat. — Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun konnte, einen Satz von C r e m o n a anführen (von D i n o in den Napoli Rend. 1879 bewiesen) und einige von S t u r m (Report of the British Association, 1881; Math. Ann. 19), welche bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der Raumkurven ausdrücken, sowie an die Untersuchungen von C a y l e y, P i q u e t und G e i s e r über eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen in der Note 463 gesprochen wurde. Erwähnenswert ist auch die (von H o ß f e l d in der Zeitschr. f. Math. 29 gefundene) Thatsache, daß die Rückkehrkurve der zweien Oberflächen umbeschriebenen abwickelbaren Fläche nicht der vollständige Schnitt zweier Oberflächen ist.

470
»Von anderen wird es löblich sein zu schweigen,
Weil allzukurz die Zeit für die Erzählung.«
— D a n t e s Göttliche Komödie; Die Hölle, 15. Gesang, Vers 104-105.

471 Der barycentrische Calcül (Leipzig, 1827).

472 Aperçu historique, Note 33; Liouvilles Journ. 19 (1854).

473 Beiträge zur Geometrie der Lage, 3. Heft (Nürnberg, 1860).

474 Grunerts Arch. 10.

475 Journ. für Math. 56.

476 Journ. für Math. 58, 60, 63; Nouv. Ann. II, 1; Annali di Matem. I, 1, 2, 5; Lombardo Rend. II, 12.

477 Journ. für Math. 56; Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung (Leipzig, 1880); Math. Ann. 25. Vgl. auch eine Note von mir in den Napoli Rend., 1885.

478 Zeitschr. für Math., 1868; Geometrie der Lage.

479 Lombardo Rend. 1871.

480 Journ. für Math. 79, 80; Annali di Matem. II, 3.

481 Math. Ann. 20 und 30.

482 Torino Mem. II, 32 und Collectanea mathematica. An diese Abhandlungen schließt sich eine von G e r b a l d i, Sui sistemi di cubiche gobbe o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche punteggiate projettivamente (Torino Mem. II, 32).

483 Giorn. di Matem. 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der kubischen Raumkurve sehe man eine Note von S c h u b e r t (Math. Ann. 15). Die Theorie der kubischen Raumkurven führt zu einer interessanten geometrischen Darstellung der Theorie der binären algebraischen Formen, die von L a g u e r r e (L’Institut 40), von S t u r m (Journ. f. Math. 86) und von A p p e l l (Ann. Éc. norm. II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J. T a n n e r y (Bull. sciences math. 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die Note von W. R. W. R o b e r t s (Proc. math. Soc. 13) und das Buch von F r a n z M e y e r, Apolarität und rationale Kurven (Tübingen, 1883). Eine gute Darlegung der Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch v o n D r a c h geliefert in der Schrift Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte (Leipzig, 1867), infolge deren B e l t r a m i interessante Annotazioni geschrieben hat (Lombardo Rend. II, 1).

484 Comptes rendus 53 (1861).

485 Annali di matem. 4. — Die Note von S t o r y, On the number of intersections of curves traced on a scroll of any order (Johns Hopkins Baltimore University Circulars 2, 1883) enthält eine Verallgemeinerung eines sehr wichtigen Theoremes von C h a s l e s.

486 P o n c e l e t machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, daß durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades hindurchgehen. (S. Traité des proprietés projectives I, S. 385, 2. Aufl.)

487 Comptes rendus 54, 55.

488 Comptes rendus 54; Bologna Mem. 1861; Lombardo rend. II, 1.

489 Annali di Matem. II, 2.

490 Géometrie de direction (Paris, 1869); Comptes rendus 82.

491 Liouvilles Journ. II, 15.

492 Journ. für Math. 97. — Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve vierter Ordnung erster Art hat S c h r ö t e r untersucht: Journ. für Math. 93.

493 Math. Ann. 12, 13.

494 Zeitschr. f. Math. 28.

495 Math. Ann. 13. Vgl. C a y l e y (das. 25).

496 Comptes rendus 82.

497 Annali di Matem. I, 4.

498 Giorn. di Matem. 11, 12.

499 Lombardo rend. 1872.

500 Wiener Ber. 1871. Über die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe man auch S t u d y (Leipziger Sitzungsber. 1886), die Habilitationsschrift von J o l l e s (Aachen, 1886) und die Abhandlung von R o b e r t s (Proc. math. Soc. 14). — Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationäre Tangenten hat. Die eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von C r e m o n a (Lombardo Rend. 1868), E m. W e y r (das. 1871) und A p p e l l (Comptes rendus 83) entdeckt.

501 Comptes rendus 70.

502 Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zürich 20.

503 Außer den zitierten Synthetischen Untersuchungen sehe man Journ. für Math. 88 und Math. Ann. 21.

504 S. K o r n d ö r f e r und B r i l l, Math. Ann. 3; S a l t e l, Comptes rendus 80; G e n t y, Bull. Soc. math. 9.

505 Siehe unter anderem die Bemerkung von B u c h h e i m, On the extension of certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency (Proc. math. Soc. 13).

506 Collectanea mathematica.

507 Journ. für Math. 99.

508 C h a s l e s, Aperçu historique, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen Übersetzung von S o h n c k e, S. 267.

509 Diese Konstruktion, die von den Deutschen »Steinersche Projektion« genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von T r a n s o n (1806-1876) gefunden, der ihr den Namen »projection gauche« gab (Nouv. Ann. II, 4 und 5).

510 Traité des propriétés projectives (1. Aufl. 1822, S. 198).

511 Journ. für Math. 5.

512 Journ. für Math. 8, und Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833.

513 Torino Mem. 1862.

514 Grunerts Arch. 7.

515 Zeitschr. f. Math. 11.

516 Liouvilles Journ. 10, 12. Vorher hatten schon G. B e l l a v i t i s (Nuovi Saggi dell’ Accademia di Padova 4 (1836) und S t u b b s (Phil. Mag. 23, 1843) sich mit dieser Korrespondenz beschäftigt. Man sehe auch S t e i n e r s Aufsatz aus dem Jahre 1826: Einige geometrische Betrachtungen (Journ. für Math. 1; Gesammelte Werke Bd. I, S. 19) Nr. 20.

517 Auf den Begriff der Inversion ist von J o h n s o n (Analyst 4) eine neue Einteilung der ebenen Kurven gegründet worden. In derselben bedeutet der Name »Kreisgrad« einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x² + y²; der Kreisgrad einer Kurve wird durch die Inversion nicht verändert. Zwei Kurven, welche denselben Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch nicht von großer Wichtigkeit zu sein.

518 Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833.

519 In den Jahren 1859 und 1860 studierte J o n q u i è r e s die (nach seinem Namen benannte) Transformation n^ter Ordnung, bei welcher jeder Geraden eine Kurve n^ter Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht. Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den Nouv. Ann. veröffentlicht, aber das vollständige Werk, welches er dieser Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch G u c c i a (s. Giorn. di Matem. 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, daß schon 1834 M ö b i u s (Journ. für Math. 12; Gesammelte Werke, 1) die eindeutige Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flächeninhalte entsprechender Figuren in einem konstanten Verhältnisse stehen, studiert hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte betrachteten.

520 Bologna Mem. 2, 5 (1863 und 1865); Giorn. di Matem. 1 und 3; vgl. auch D e w u l f s Bearbeitung im Bull. sciences math. 5.

521 Proc. math. Soc. 3.

522 Math. Ann. 4.

523 Math. Ann. 3, 5.

524 Journ. für Math. 73.

525 Proc. math. Soc. 4.

526 Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz berühren, der gleichzeitig von C l i f f o r d (Proc. math. Soc. 3), N ö t h e r (Göttinger Nachr. 1870; Math. Ann. 3) und R o s a n e s (Journ. für Math. 73) erhalten wurde, und für einen Augenblick die Wichtigkeit der C r e m o n a schen Transformation aufzuheben schien: »Jede eindeutige Transformation von höherer als erster Ordnung kann man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten.« Dieser Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von M a g n u s, der vorhin im Texte angeführt wurde.

527 Bologna Mem. 1877-1878.

528 Comptes rendus, 1885; Giorn. di Matem. 24.

529 Annali di Matem. II, 10.

530 Comptes rendus, 1885; Rendic. del Circolo Matematico di Palermo 1.

531 Man sehe die in den Comptes rendus, 1883, 1884, 1885, 1886 und in Liouvilles Journ. 1885, 1886, 1887 veröffentlichten Abhandlungen.

532 Annali di Matem. 7, ferner Giorn. di Matem. 4.

533 Proc. math. Soc. 2.

534 Math. Ann. 26.

535 Bull. sciences math. II, 6 und 7.

536 Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in andere oder in sich selbst befassen: z. B. M a g n u s, Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833, S. 320, 455, 457-459, 497; K l e i n und L i e, Math. Ann. 4.

537 Annali di Matem. II, 8; Lombardo Rend. 1883. Vgl. auch G e i s e r, Journ. für Math. 67.

538 Napoli Rend., 1879.

539 Die neueste Form, welche die B e r t i n i schen Untersuchungen infolge dessen angenommen, machte es meinem Freunde M a r t i n e t t i leichter, auf dem von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu bestimmen (Annali di Matem. II, 12, 13). Die Theorie der ebenen Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von K a n t o r bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrönt worden ist und jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den Wiener Ber. 1880 ausgesprochen, sowie in den Wiener Denkschriften 46.

S a l t e l verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen »Transformation arguesienne« nach D e s a r g u e s benannt (s. die Mémoires de l’Académie de Belgique 12, Bulletin de l’Académie de Belgique II, 24), studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in einer festen Ebene Π zwei Kegelschnitte Γ₁ und Γ₂ und ein fester Punkt O; man läßt entsprechen einem Punkte P von Π seinen konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch den Kegelschnittbüschel, den Γ₁, und Γ₂ konstituieren. Es sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Büschels. — Wenn jene beiden Kegelschnitte Γ₁ und Γ₂ zusammenfallen, so reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion von H i r s t. — Im Raume hat man eine ähnliche Transformation. — Eine andere Transformation (»transformation hyperarguesienne«) wurde von demselben Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingeführt (Bulletin de l’Académie de Belgique II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt: Gegeben in einer Ebene Π drei Kegelschnitte Γ₁, Γ₂, Γ₃ und ein fester Punkt O. Man läßt einem Punkte P von Π seinen homologen entsprechen in der Projektivität, die bestimmt ist auf OP von den drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den drei Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar nicht birational. — Die erste der S a l t e l schen Transformationen kann zur Lösung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken für die Kurven höherer als zweiter Ordnung dienen (Bull. Soc. Math. 2).

540 Bull. Soc. math. 8; Comptes rendus 94; Nouv. Ann. III, 1, 2. Diese Transformation kann man, wie L a g u e r r e selbst bemerkte, auf den Raum ausdehnen (Comptes rendus 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die man erhält, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von S t e p h a n o s (Comptes rendus 92) dieselbe, vermittelst derer L i e die Geometrie der Geraden mit der der Kugel verknüpfte (Math. Ann. 5).

541 Die verschiedenen Abhandlungen von M ö b i u s über diese Theorie finden sich vereint im II. Bande seiner Gesammelten Werke (Leipzig, 1886).

542 Journ. für Math. 55, 57, 59; Grunerts Arch. 33.

543 Grunerts Arch. 42.

544 Bologna Mem. 1870.

545 Journ. für Math. 69.

546 Des Näheren siehe die Abhandlung: Géometrie des polynomes (Journ. Éc. polyt. 28).

547 Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen (Erlangen, 1875); vgl. Math. Ann. 9; Studien im binären Wertgebiete (Karlsruhe, 1876); Math. Ann. 17; Erlanger Berichte, 1875.

548 Siehe das Werk: Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften (Leipzig, 1883).

549 Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz aufstellen, so daß einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von R o s a n e s (Journ. für Math. 1888) behandelt, sodann von S c h u b e r t (Math. Ann. 17 und Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg, 1881) und in einem Spezialfalle von B e n n o K l e i n (Theorie der trilinear-symmetrischen Elementargebilde, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von H a u c k (Journ. für Math. 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen Nutzen zu sein scheinen.

Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen L e P a i g e mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre (Mém. de la Soc. des sciences de Liège II, 10) und die Noten, welche im Bulletin de l’Académie de Belgique III, 5 und in den Wiener Ber. 1883 veröffentlicht sind. Derselbe Geometer beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung (Torino Atti 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen Flächen und gewisse Flächen vierter Ordnung (Bulletin de l’Académie de Belgique III, 4; Acta math. 5).

Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung, durch welche schon 1862 F. A u g u s t die kubische Oberfläche erzeugte (Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation), eine trilineare Beziehung ist.

550 Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berührt. Läßt man K dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte angegebenen Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide wurden von M o n t a g in seiner Dissertation: Über ein durch die Sätze von Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem (Breslau, 1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm umgeschriebenen und eines solchen, für welchen ABC ein Polardreieck ist. Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die Fläche zweiter Ordnung zuordnen, für welche P das Zentrum ist und in bezug auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.

551 Math. Ann. 6.

552 Man sehe außerdem die Arbeiten von G o d t (Göttinger Dissertation, 1873), A r m e n a n t e (Lincei Atti, 1875), B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 19, 20), P e a n o (Torino Atti 16) und von A m o d e o (Napoli Rend. 1887). Die den Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von K r a u s e behandelt (Math. Ann. 14). Man sehe auch zwei Noten von L a z z e r i, Sulle reciprocità birazionali nel piano e nello spazio (Lincei Rend. 1886).

553 Gauss’ Werke, 4. Bd. Eine italienische Übersetzung wurde von B e l t r a m i in den Annali di Matem. 4 veröffentlicht.

554 Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehören in die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden sind, auf die Schriften von F i o r i n i, Le projezioni delle carte geografiche (Bologna, 1881) und Z ö p p r i t z, Leitfaden der Kartenentwurfslehre (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit den Arbeiten von T i s s o t (Comptes rendus 49; vgl. auch D i n i, Memoria sopra alcuni punti della teoria delle superficie [Florenz, 1868]; Journ. Éc. polyt. 37; Nouv. Ann. II, 17 flgg.), weil sie ein großes Interesse auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.

555 Diese Abbildung, die man heute die »sphärische« nennt, wurde vor G a u ß von O. R o d r i g u e s im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre ganze Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der große deutsche Geometer.

556 Journ. für Math. 34.

557 Comptes rendus, 53.

558 Phil. Mag. 1861.

559 Journ. für Math. 68, oder Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Oberflächen (Berlin, 1870), III. T.

560 Journ. für Math. 65.

561 Math. Ann. 1.

562 S. Journ. für Math., Math. Ann. und Göttinger Nachr. und Abh.

563 Math. Ann. 4; Annali di Matem. II, 1; Göttinger Nachr. 1871 und viele andere Abhandlungen, welche in den Lombardo Rend. und den Bologna Mem. stehen. In der Abhandlung in den Annali studierte C r e m o n a die Regelflächen (m + n)^ten Grades, welche eine m-fache und eine n-fache Leitlinie haben, und fand, daß deren asymptotische Kurven im allgemeinen algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine Konstruktion dieser Kurven wurde später von H a l p h e n angegeben (Bull. Soc. math. 5).

564 Math. Ann. 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine Abhandlung von B r i l l hinzu (Math. Ann. 5).

565 Annali di Matem. II, 1.

566 Math. Ann. 4.

567 Math. Ann. 1.

568 Annali di Matem. II, 7.

569 Z. B. sehe man D a r b o u x (Bull. Soc. math. 2), F r a h m (Math. Ann. 7), L a z z e r i (Annali della Scuola nuova sup. di Pisa, 6), G u c c i a (Association française pour l’avancement des sciences, Congrès de Reims, 1880).

570 Ein wichtiger Begriff, den C l e b s c h bei seinen Studien über die Abbildung der Regelflächen aufstellte (Math. Ann. 5), ist der des Typus einer Fläche. Zwei Flächen sind von demselben Typus, wenn bei der Abbildung der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, ist die römische Fläche von S t e i n e r von demselben Typus mit der Ebene.

571 S. die Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini.

572 Comptes rendus, 1868.

573 Math. Ann. 3.

574 Annali di Matem. II, 5; Göttinger Nachr. 1871 und 1873.

575 Math. Ann. 4, 9, 10.

576 Die Flächen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine Ebene kennt, sind die rationalen Regelflächen, die römische Fläche, die Oberflächen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die Monoide und eine Oberfläche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine Abhandlung von N ö t h e r in den Göttinger Nachr. 1871 und eine von C r e m o n a in den Collectanea mathematica). Wer die Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen studieren will, darf die schönen Untersuchungen von Z e u t h e n (s. die vorige Note und Comptes rendus, 1870) nicht übergehen und die darauf folgenden von K r e y (Math. Ann. 18) und V o ß (Math. Ann. 27); einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von K a n t o r (Journ. für Math. 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten einer gewissen kubischen Fläche und gewissen Tripeln von Punkten einer Ebene besteht.

577 Math. Ann. 3.

578 Math. Ann. 3.

579 Aperçu historique, Note 28.

580 Lincei Mem. 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von N ö t h e r in den Erlanger Sitzungsberichten, 1878.

581 Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. d. Raumes, S. 403 flg.

582 Journ. für Math. 49.

583 S. Note 563. Vgl. auch S t u r m, Math. Ann. 19.

584 Proc. Math. Soc. 3.

585 Math. Ann. 3.

586 Lombardo Rend. 1871; Annali di Matem. II, 5; Bologna Mem. 1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den Transactions of Edinburgh 32, II. Th. und in den Irish Trans. 28 und Proc. math. Soc. 15.

587 Aufgaben und Lehrsätze aus der analyt. Geom. des Raumes, 1837, S. 417-418, Anmerkung.

588 Unter diesen führe ich die Abhandlung von d e P a o l i s an: Sopra un sistema omaloidico formato da superficie d’ordine n con un punto (n - 1)-plo (Giorn. di Matem. 13) die späteren über einige spezielle involutorische Transformationen des Raumes von M a r t i n e t t i (Lombardo Rend. 1885) und von P a o l i s (Lincei Trans., 1885). — Ich bemerke hier, was ich im Texte nicht thun konnte, daß es möglich ist, das Punktfeld auf einer Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung auszuführen, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden entsprechen lassen (Übertragungsprinzip von H e s s e, Journ. für Math. 66). Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, der den Fußpunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefällten Lotes zum Mittelpunkt und zum Radius die Länge dieses Lotes hat, indem man hinzufügt, daß dieser Kreis in dem e i n e n Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne, wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von F i e d l e r vereinigt, um die Cyklographie zu bilden (s. das Werk Cyklographie, Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der Darstellenden Geometrie) und wurden von ihm zur Lösung einiger Probleme angewandt (s. einige Mitteilungen für die naturforschende Gesellschaft in Zürich und Acta math. 5). Vor ihm jedoch hatte schon C r o n e verwandte Fragen in einer Dissertation behandelt, die sich in der Tidsskrift for Mathematik 6 findet.

589 C h a s l e s, Aperçu historique, 2. Ausg. S. 196.

590 M a g n u s, Sammlung von Aufgaben und Lehrsätzen aus der anal. Geom. der Ebene, 1833, S. 188 und 198.

591 V o ß, Math. Ann. 13; S e g r e, Torino Mem. II, 37; S t u r m, Math. Ann. 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren bibliographischen Einzelheiten finden.

592 S t u r m, a. a. O.; M o n t e s a n o, Lincei Mem. 1886.

593 L ü r o t h, Math. Ann. 11, 13; S c h r ö t e r (das. 20); V e r o n e s e, Lincei Mem. 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den Gesammelten Werken von M ö b i u s 2 finden. Auch die Arbeiten von R o s a n e s führen wir hier an (Journ. für Math. 88, 90, 95, 100), von S t u r m (Math. Ann. 1, 6, 10, 12, 15, 19, 22, 28; Proc. math. Soc. 7), und von P a s c h (Math. Ann. 23, 26), die verwandte Gegenstände behandeln; dann noch die von S t e p h a n o s (Math. Ann. 23), von H. W i e n e r (Rein geometrische Theorie der Darstellung binärer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden, Darmstadt, 1885), von S e g r e (Torino Mem. II, 28 und Journ. für Math. 100), von S a n n i a (Lezioni di geometria projettiva, in Neapel im Drucke befindlich) über die Kollineationen und Korrelationen.

594 Math. Ann. 3.

595 Giorn. di Matem. 10.

596 Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veröffentlichten Abhandlungen.

597 Lombardo Rend. 1886; Lincei Rend. 1885.

598 Die Geometrie der Lage.

599 Giorn. di Matem. 21.

600 Lombardo Rend. II, 14 und 15.

601 Journ. für Math. 94.

602 Lincei Mem. 1884-1885.

603 Wiener Ber. 1881; Journ. für Math. 97.

604 Math. Ann. 19 und 28.

605 Math. Ann. 23.

606 Journ. für Math. 82, in dem Aufsatze über reciproke Verwandtschaft von F²-Systemen und Φ²-Geweben.

607 Über das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des nächsten Abschnittes

608 »Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie C a r t e s i u s geschaffen, sozusagen nur auf einem Fuße. P l ü c k e r kommt die Ehre zu, sie auf zwei gleiche Stützen gestellt zu haben, indem er ein ergänzendes Koordinatensystem einführte. Diese Entdeckung war daher unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke S t e i n e r s dem Geiste der Mathematiker zugeführt waren.« S y l v e s t e r, Phil. Mag. III, 37, 1850, S. 363. Vgl. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 2, S. 453.

609 S. Phil. Trans., 1865, S. 725; 1866, S. 361.

610 Es ist wohl zu beachten, daß ein linearer Komplex ein reciprokes Nullsystem veranlaßt und daß dieses zuerst von G i o r g i n i (Memorie della Società italiana delle scienze 20, 1827), dann aber auch von M ö b i u s (Lehrbuch der Statik I; vgl. auch Journ. für Math. 10, 1833) und von C h a s l e s (Aperçu historique, 1837) in ihren statischen und kinematischen Untersuchungen und von demselben C h a s l e s und S t a u d t bei der Bestimmung der involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde.

611 Cambridge Trans. 11, Teil 2; Quart. Journ. 3.

612 Giorn. di Matem. 6, 7, 10, 18. Wenn auch B a t t a g l i n i seinen Studien über die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von den Schlüssen, die er gemacht hat, — man kann sagen alle, mit Ausnahme derjenigen, welche sich auf die singuläre Fläche und die singulären Strahlen des Komplexes beziehen — für allgemeine Komplexe, indem sie unabhängig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Änderungen größtenteils dem allgemeinen Falle an.

613 Leipzig, 1868-1869.

614 S. dessen Examen des différentes méthodes etc.

615 Math. Ann. 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in Bonn erschienenen Dissertation: Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische Form), 28. Außerdem enthalten viele Arbeiten von K l e i n über Fragen der höheren Algebra oder der höheren Analysis, die in den Math. Ann. und sonst veröffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie der Geraden angehören.

616 Torino Mem. II, 36.

617 Journ. für Math. 75, 76; Habilitationsschrift (Gießen, 1870).

618 Math. Ann. 1.

619 Math. Ann. 2.

620 Lincei Mem. 1884-1885.

621 Math. Ann. 2, 5.

622 Math. Ann. 7. Man kann es nur beklagen, daß die in verschiedener Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von W e i l e r eine große Zahl von Ungenauigkeiten enthält.

623 Math. Ann. 8, 9, 10, 12, 13. S. auch S c h u b e r t das. 12 und dessen Abzählende Geometrie.

624 Comptes rendus 74, 75; Bull. Soc. math. 1.

625 Göttinger Nachr. 1869.

626 Göttinger Nachr. 1869.

627 Lincei Mem. 1877-1878.

628 Giorn. di Matem. 8; Lombardo Rend. II, 12, 13, 14.

629 Math. Ann. 5. Vgl. eine Abhandlung von C r e m o n a, gelesen vor der Accademia dei Lincei (Atti II, 3).

630 Journ. für Math. 98. Vgl. auch 95 und 97.

631 Liouvilles Journ. 4.

632 Die Geometrie der Lage, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von R e y e in dem Journ. für Math. veröffentlichten synthetischen Arbeiten über die Geometrie der Geraden vereinigt finden.

633 Zeitschr. f. Math. 20.

634 Dissertation (Berlin, 1879) oder Math. Ann. 15.

635 Giorn. di Matem. 17; Lincei Rend. 1879.

636 Torino Atti, 1881.

637 Journ. für Math. 91, 92, 93, 94, 95, 97.

638 The Messenger of Mathematics II, 13.

639 Liouvilles Journ. II, 17.

640 S. Note 629.

641 Math. Ann. 5.

642 Ann. Éc. norm. II, 6; Grunerts Arch. 40.

643 Ann. Éc. norm. III, 1.

644 S. Note 628.

645 Nouv. Ann. II, 2; Liouvilles Journ. II, 19.

646 Die Geometrie der Lage.

647 Göttinger Nachr. 1870.

648 Journ. für Math. 95; Zeitschr. f. Math. 24, 27.

649 Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di complessi lineari (Piazza Armerina, 1882).

650 Proc. math. Soc. 10; Collectanea mathematica, 1881.

651 Math. Ann. 13.

652 Mémoire de géométrie vectorielle sur les complexes du second ordre, qui ont un centre de figure (Liouvilles Journ. III, 8).

653 Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci projettivi di complessi lineari (Napoli, 1886), und Napoli Rend. 1886.

654 Math. Ann. 23; Giorn. di Matem. 23; Torino Atti, 1884.

655 Applications de Géometrie et de Mechanique, 1822.

656 Journ. Éc. polyt. 14.

657 Comptes rendus 20.

658 Liouvilles Journ. 15.

659 Journ. Éc. polyt. 38.

660 Irish Trans. 16, 1831.

661 Bd. 57.

662 Die Eigenschaften der unendlich dünnen Strahlenbündel, mit denen K u m m e r sich in dieser Abhandlung beschäftigt, gaben später (1862) Stoff zu einer schönen Arbeit von M ö b i u s (Leipziger Ber. 14; Werke 4), an welche sich dann die von Z e c h (Zeitschr. f. Math. 17) veröffentlichten Untersuchungen knüpfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von H e n s e l (Journ. für Math. 102).

663 Berliner Abh. 1866.

664 Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer von K u m m e r ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten geführt haben, erwähne ich: R e y e (Journ. für Math. 86 und 93), H i r s t (Proc. math. Soc. 16), S t a h l (s. Note 637), C a p o r a l i (Napoli Rend. 1879), L o r i a (Torino Atti, 1884 und 1886) — oder von solchen, die zu diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem hinzugefügt haben: K u m m e r (Berliner Ber. 1878), M a s o n i (Napoli Rend. 22), R o c c e l l a (s. Note 649), H i r s t (Proc. math. Soc. 16 und 17; Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo 1), S t u r m (Math. Ann. 6; Journ. für Math. 101).

665 Zum Beweise, daß die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei Stellen anführen, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich mit Philosophie beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so gewiß ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen noch Raum zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie sind Grimassen der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das gewöhnliche Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der Begrenzung der Begriffe täuschen« (L o t z e, Logik, S. 217). »Die absolute oder Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. G i l l e s, Blätter für das Bayrische Gymnasial-und Realschulwesen 28, S. 423). Man sehe auch die heftigen Äußerungen D ü h r i n g s, die von E r d m a n n in seiner trefflichen Abhandlung: Die Axiome der Geometrie (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben sind, ferner K r o m a n, Unsere Naturerkenntnis, deutsch von F i s c h e r - B e n z o n (Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes von S t a l l o, La matière et la physique moderne (Paris, 1884). Auf Vorwürfe von der oben erwähnten Art erwidern wir mit d ' A l e m b e r t: »Allez en avant, et la foi vous viendra!«

666 Als Litteraturnachweis für diesen Teil der Geometrie sehe man die Artikel von G. B r u c e - H a l s t e d, veröffentlicht im Amer. Journ. 1 und 2.

667 Es ist dieser Satz: »Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.« D ' A l e m b e r t nannte diesen Satz: »l’écueil et le scandale des éléments de la géométrie«.

668 Eine Zeit lang glaubte man, daß der fragliche Satz von Euklid unter die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. H a n k e l, Vorlesungen über komplexe Zahlen und ihre Funktionen, S. 52) neigen zu der Ansicht, daß derselbe irrtümlicher Weise von den Abschreibern zu den Axiomen geschrieben sei, während er im Originale unter den Postulaten gestanden hatte.

669 Vgl. Die Elemente der Mathematik von B a l t z e r, 4. Teil, Planimetrie.

670 Man erzählt, L a g r a n g e habe beobachtet, daß die sphärische Geometrie von dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft, aus dieser Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den Ungelegenheiten der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem Radius betrachtete.

671 Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, herausgegeben von P e t e r s, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses Briefwechsels sind von H o ü e l ins Französische übersetzt und seiner 1866 erschienenen französischen Übersetzung von L o b a t s c h e w s k y s Geometrischen Untersuchungen (vgl. Note 10) zugefügt.

672 Vgl. die Gedächtnisschrift auf G a u ß von S c h e r i n g in den Göttinger Abh. 22 (1877).

673 Göttingische Gelehrte Anzeigen, 1816 und 1822; oder Gauss’ Werke 4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, Gauss zum Gedächtnis (Leipzig, 1856), S. 81. — Möge es gestattet sein, hier die Mitteilung anzuschließen, daß G a u ß das alte Problem der Kreisteilung, in dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwärts gekommen war, durch Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefördert hat, das ohne Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst für die Geometrie nicht erwartete (Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801; Werke 1; vgl. B a c h m a n n, Die Lehre von der Kreisteilung, Leipzig, 1872), indem er zeigte, daß die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und Zirkel auch noch möglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 ist. Man sehe hierzu auch L e g e n d r e, Éléments de trigonométrie, Anhang; R i c h e l o t, S t a u d t, S c h r ö t e r, Journ. für Math. 9, 24, 75; A f f o l t e r, Math. Ann. 6.

674 Courier von Kasan, 1829-1830; Abhandlungen der Universität Kasan, 1835, 1836, 1837, 1838; Geometrische Untersuchungen über die Theorie der Parallellinien (Berlin, 1810); Journ. für Math. 17.

675 Die Schrift von J o h a n n B o l y a i erschien als Anhang des Werkes von W. B o l y a i: Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae..... introducendi, 2. Bd. (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins Französische übersetzt von H o ü e l (Mémoires de Bordeaux), ins Italienische von B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 5).

676 Es ist das Verdienst H o ü e l s (?—1886) und B a t t a g l i n i s, die Werke von L o b a t s c h e w s k y und B o l y a i durch Übersetzungen und vorzügliche Kommentare (s. Note 7 und 11 und Giorn. di Matem. 5 und 8) verbreitet zu haben. — Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da F l y e S^te M a r i e (Etudes analytiques sur la théorie des parallèles, Paris, 1871), F r i s c h a u f (Elemente der absoluten Geometrie, Leipzig, 1876) und d e T i l l y (Essai sur les principes fundamentaux de la géométrie et de la mécanique, Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In England wurden die neuen Ideen über die Prinzipien der Geometrie bearbeitet und herrlich dargestellt von C l i f f o r d; man sehe die Schrift Lectures and Essays, sowie die von S m i t h den Mathematical Papers by W. K. Clifford (London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.

677 Göttinger Abh. 13 (1867), oder Gesammelte Werke (Leipzig, 1876), ins Französische übersetzt von H o ü e l (Annali di Matem. II, 3), ins Englische von C l i f f o r d (Nature 8 oder Mathematical Papers S. 55).

678 In der Abhandlung Über die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Göttinger Nachr. 1868).

679 Hierzu sehe man Populäre wissenschaftliche Vorträge von H e l m h o l t z (Braunschweig, 1871-1876); Revue des cours scientifiques, 9. Juli 1870 etc.

680 Giorn. di Matem. 6. Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt von H o ü e l und veröffentlicht in den Ann. Éc. norm. 6, 1869.

681 Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d ' A l e m b e r t die Meinung zurückwies, daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (Traité de Dynamique, Paris, 1858, Discours préliminaire, S. XII), mit den folgenden von C l i f f o r d (The Common Sense of the Exact Sciences, London, 1885, International Scientific Series 51): »In derselben Weise, wie wir, um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stützen, welche solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That ein Ergebnis der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk von H o ü e l, Du rôle de l’expérience dans les sciences exactes (Prag, 1875), oder die Übersetzung, die davon in Grunerts Arch. 59 veröffentlicht wurde.

682 Ich bemerke, daß, wer die Ausdehnungslehre des großen deutschen Geometers und Philologen H e r m a n n G r a ß m a n n liest, mit Erstaunen sehen wird, daß er schon 1844 zu Schlüssen gelangt war, die von den im Texte angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß, um geschätzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß andere auf einem anderen Wege zu den äußerst originellen Wahrheiten gelangten, die es enthält? — Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklärung zu geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte der Kämpfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten haben, traf es sich selten und nur flüchtig, daß ich Arbeiten von G r a ß m a n n zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht, daß dieser Geometer nicht der Erwähnung würdig sei, daß seine Entdeckungen und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, daß der Formalismus, in den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugänglich gemacht und ihnen fast jede Möglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluß auszuüben. G r a ß m a n n war während eines großen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der Mathematik; nur während seiner letzten Jahre befaßte er sich damit, etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu veröffentlichen, um deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe Math. Ann. 10, 12; Göttinger Nachr. 1872; Journ. für Math. 84); daher ist es natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. — Man vergleiche P e a n o, Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (Turin, 1888). — Über die wissenschaftlichen Verdienste G r a ß m a n n s sehe man einen Artikel von C r e m o n a in den Nouv. Ann. I, 19, dann den 14. Bd. der Math. Ann. und den 11. Bd. des Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche. Ein Vergleich zwischen den Methoden G r a ß m a n n s und anderen moderneren wurde von S c h l e g e l in der Zeitschr. f. Math. 24 gemacht.

683 Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Math. Ann. 4).

684 Nouv. Ann. 12.

685 Phil. Trans. 149; vgl. C l i f f o r d, Analytical Metrics (Quart. Journ. 1865, 1866 oder Mathematical Papers, S. 80).

686 Eine spätere Abhandlung von K l e i n unter demselben Titel (Math. Ann. 6) ist zur Ergänzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe knüpfen sich die wichtigen Untersuchungen von L ü r o t h und Z e u t h e n (Math. Ann. 7), von T h o m a e (vgl. die 2. Aufl. der Geometrie der Lage von R e y e), von D a r b o u x (Math. Ann. 17), von S c h u r (das. 18), d e P a o l i s (Lincei Mem. 1880-1881) und von R e y e (3. Aufl. der Geometrie der Lage) über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.

687 Études de mécanique abstraite (Mémoires couronnées par l’Académie de Belgique 21, 1870).

688 Bulletin de l’Académie de Belgique II, 36; Torino Mem. II, 29; Mem. de la società italiana delle scienze III, 2.

689 Wiener Ber. 1874. Man sehe auch die schöne Abhandlung von B e l t r a m i: Sulle equazioni generali dell’ elasticità, in den Annali di Matem. II, 10.

690 Sull’ applicabilità delle superficie degli spazii a curvatura costante (Lincei Atti III, 2).

691 Lincei Rend. 1873 und 1876.

692 Annali di Matem. II, 6, 7; Giorn. di Matem. 13; Torino Atti, 1876; Lincei Mem. III, 3; Lombardo Rend. 1881.

693 Lincei Mem. 1877-1878.

694 Lombardo Rend. II, 14, 15.

695 Math. Ann. 5.

696 Math. Ann. 7.

697 Göttinger Nachr. 1873.

698 Amer. Journ. 2, 4, 5.

699 Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie. Programm (Berlin, 1873).

700 Math. Ann. 10.

701 Quart. Journ. 18.

702 On the theory of screws in elliptic space. (Proc. math. Soc. 15 und 16).

703 Die interessantesten von den mir bekannten sind die von S e g r e, Sulle geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere, veröffentlicht in den Torino Atti, 1883.

704 Das Produkt zweier Strecken ist eine Fläche, das dreier ein Körper, was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? — Die analytischen Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort »sursolide« (überkörperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwähnte Richtung eingeschlagen haben.

705 S. C a y l e y, A memoir on abstract Geometry (Phil. Trans. 1870); vgl. auch Cambridge Journ. 4, 1845.

706 Comptes rendus, 1847.

707 Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß G a u ß ausgedehnte und bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; vgl. S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor. Abschn.).

708 Théorie des fonctions analytiques (Paris, an V, S. 223).

709 Ich darf nicht verschweigen, daß schon 1827 M ö b i u s einen Einblick hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei in Bezug auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Z ö l l n e r beiläufig, wie die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden Resultate können als Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: N e w c o m b zeigte (Amer. Journ. 1), daß, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es möglich ist, die beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Fläche umzuwechseln, ohne dieselbe zu zerreißen. K l e i n bemerkte (Math. Ann. 9), daß bei dieser Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben könnten, und V e r o n e s e führte (in der 1881 an der Universität zu Padua gehaltenen Prolusione) die Thatsache an, daß man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Körper herausnehmen könne, ohne die Wände desselben zu zerbrechen. H o p p e gab (Grunerts Arch. 64) Formeln an, welche die Beobachtungen K l e i n s illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von D u r è g e angegeben wurden (Wiener Ber. 1880); vgl. auch Grunerts Arch. 65 und die synthetischen Betrachtungen von S c h l e g e l, Zeitschr. f. Math. 28.

710 Annali di Matem. II, 2 und 5.

711 Journ. für Math. 65; Annali di Matem. II, 5.

712 Journ. für Math. 83.

713 Amer. Journ. 2.

714 Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig, 1885.

715 Math. Ann. 27.

716 Annali di Matem. II, 4.

717 Proc. math. Soc. 7 oder Mathematical Papers, S. 236.

718 Bull. sciences math. 11, 1876.

719 Comptes rendus, 79.

720 Journ. für Math. 70 flgg., Quart. Journ. 12.

721 Proc. math. Soc. 9.

722 Berliner Dissertation, 1880.

723 Phil. Trans. 175.

724 Journ. für Math. 98.

725 Nach L i p s c h i t z hatte L e j e u n e - D i r i c h l e t (1805-1859) das allgemeine Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden dann von Schering bearbeitet und in den Göttinger Nachr. 1870 und 1873 veröffentlicht.

726 Comptes rendus 79.

727 Math. Ann. 19.

728 H o p p e machte analoge Untersuchungen für die Kurven des vierdimensionalen Raumes (Grunerts Arch. 64).

729 Amer. Journ. 4.

730 Berliner Ber. 1869.

731 Math. Ann. 7; Zeitschr. f. Math. 20, 21, 24.

732 Journ. für Math. 70 und 72.

733 Journ. für Math. 70.

734 Math. Ann. 24.

735 Bull. sciences math. I, 4.

736 Math. Ann. 26.

737 Collectanea mathematica; Annali di matem. II, 10.

738 Göttinger Nachr., 1871.

739 Math. Ann. 5.

740 Journ. für Math. 81; Comptes rendus 82.

741 Amer. Journ. 4.

742 Journ. für Math. 74 oder Quart. Journ. 12. Ich füge noch hinzu, daß S a l m o n und C a y l e y sich der Räume von mehreren Dimensionen in ihren Untersuchungen über die Theorie der Charakteristiken (§ IV) bedient haben, daß M e h l e r, Journ. für Math. 84, eine Anwendung von der Betrachtung eines vierdimensionalen Raumes für Untersuchungen über dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen, und daß L e w i s davon eine ähnliche Anwendung machte bei der Betrachtung einiger Trägheitsmomente (Quart. Journ. 16). Dann fand W o l s t e n h o l m e, daß die Zahl der Normalen, die man von einem Punkte eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberfläche von der n^ten Ordnung ziehen kann,
n { (n - 1)^d - 1 }
n - 2

beträgt (Educational Times 10).

743 Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie (Bamberg, 1887).

744 Grunerts Arch. 64.

745 Bull. Soc. math. 10.

746 Grunerts Arch. 70.

747 Amer. Journ. 3.

748 Grunerts Arch. 66, 67, 68, 69.

749 Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie 44.

750 Die polydimensionalen Grössen und die vollkommenen Primzahlen.

751 Von Körpern höherer Dimensionen (Kaiserslautern, 1882).

752 Wiener Ber. 90.

753 Wiener Ber. 89 und 90.

754 Diese bilden eine der merkwürdigsten von den durch L. Brill in Darmstadt veröffentlichten Serien von Modellen.

755 Journ. für Math. 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche die Abhandlung von C a y l e y bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren Dimensionen bringen könne.

756 Histoire de l’astronomie moderne 2, S. 60.

757 Phil. Trans. 1878 oder Mathematical Papers S. 305.

758 Math. Ann. 19.

759 Unter den in der Abhandlung von V e r o n e s e bearbeiteten Untersuchungen sind die über die Konfigurationen besonderer Erwähnung wert, ferner die Formeln, welche — als eine Erweiterung derer von P l ü c k e r und C a y l e y — die gewöhnlichen Singularitäten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes unter einander verknüpfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen Oberflächen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das Studium einiger Oberflächen unseres Raumes; dann kann ich nicht stillschweigend übergehen die Studien über die in einem quadratischen Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Räume, die V e r o n e s e gemacht hat, um einige Sätze von Cayley zu erweitern (Quart. Journ. 12), indem er die von Klein (Math. Ann. 5) verallgemeinerte stereographische Projektion anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate über die Kurven, von denen übrigens einige schon C l i f f o r d (Phil. Trans., 1878) auf einem anderen Wege erhalten hatte.

760 Annali di Matem. II, 11; Lincei Mem. 1883-1884; Atti dell’ Istituto Veneto V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausführung eines Gedankens angesehen werden, den S y l v e s t e r im Jahre 1869 in seiner Rede vor der British Association angedeutet hat.

761 Torino Mem. II, 36.

762 Lincei Mem. 1883-1884; Torino Mem. II, 37; Lincei Rend. 1886.

763 Torino Atti 19.

764 Torino Atti 19, 20, 21; Math. Ann. 27.

765 Math. Ann. 24.

766 Torino Atti 20.

767 Lombardo Rend. 1886; Lincei Rend. 1886. Man sehe auch desselben Verfassers wichtige Note: Sui sistemi lineari, Lombardo Rend. 82.

768 Lombardo Rend. 1885, 1886.

769 Napoli Rend. 1885, 1886. Vgl. auch R o d e n b e r g, Math. Ann. 26.

770
Ich kann sie alle hier nicht wiederholen,
Weil mich des Stoffes Fülle so bedrängt,
Daß hinter dem Gescheh’nen oft das Wort bleibt.
— (D a n t e s Divina Commedia, der Hölle 4. Ges. V. 145-147.)

771 Math. Ann. 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. K a n t o r, Sur les transformations linéaires successives dans le même espace à n dimensions (Bull. Soc. math. 8).

772 Bull. Soc. math. 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen Resultaten heben wir folgendes hervor: »Wenn man in einem Raume von r - 1 Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade μ und ν ins Auge faßt, bezüglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade μν, wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben«, um den vollständigen Beweis desselben anzuführen, den N ö t h e r in den Math. Ann. 11 geliefert hat.

773 Lincei Mem. 1876-1877; vgl. auch J o r d a n (Bull. Soc. math. 3). — Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte: Von vielen wurde behauptet, daß in einem Raume von konstanter positiver Krümmung zwei geodätische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde zuerst von K l e i n beobachtet (Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 9, S. 313), dann von N e w c o m b (Journ. für Math. 83) und von F r a n k l a n d (Proc. math. Soc. 8). Über dasselbe Thema sehe man eine Abhandlung von K i l l i n g (Journ. für Math. 86 und 89).

774 Math. Ann. 26; Acta math. 8. — Der Abhandlung von V e r o n e s e gehen noch die Untersuchungen von S p o t t i s w o o d e (1825-1883) voran, über die Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst correlativer Figuren der gewöhnlichen Geometrie (Comptes rendus 81).

775 Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science.

776 Beiträge zur Geometrie der Lage, § 29.

777 Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zürich 15, oder Die darstellende Geometrie.

778 Vgl. die interessante Abhandlung von F i e d l e r, Geometrie und Geomechanik, erschienen in der genannten Vierteljahrsschrift, und in französischer Übersetzung in Liouvilles Journ. III, 4 veröffentlicht.

779 Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe, die man jetzt noch als der Mechanik angehörig betrachtet, erwachsen würde, bezeugen der Exposé géométrique du calcul différentiel et intégral (Paris, 1861), von L a m a r l e (1806-1875) verfaßt, die von M a n n h e i m der kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem Cours de géométrie descriptive (Paris, 1880) und das schöne jüngst veröffentlichte Buch meines Freundes P e a n o mit dem Titel: Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (Turin, 1887).

780 Man sehe die Anhänge der Proc. math. Soc. seit Bd. 14.

781 Nouv. Ann. II, 1, 2; Liouvilles Journ. II, 7; Berliner Abh. 1865, 1866; Berliner Ber. 1872 oder Borchardts Gesammelte Werke, S. 179, 201, 233.

782 Insbesondere Journ. für Math. 24 oder Werke, Bd. II, S. 177, 241.

783 S. Acta Societatis scientiarum Fennicae, 1866; Bull. de l’Académie de St. Pétersbourg 14; Math. Ann. 2; Nouv. Ann. II, 10; Zeitschr. f. Math. 11; Göttinger Nachr. 1882 oder Bull. sciences math. II, 7; Journ. für Math. 96, 97; Göttinger Nachr. 1884; Grunerts Arch. II, 2; Giorn. di Matem. 26.

784 Mémoires de l’Académie de Berlin, 1761; vgl. L e g e n d r e s Eléments de Géometrie, Note IV der älteren Auflagen.

785 Berliner Ber. 1882; Math. Ann. 20; vereinfacht durch W e i e r s t r a ß, Berliner Ber. 1885; man vgl. auch R o u c h é, Nouv. Ann. III, 2.

786 Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen über die Kurven und Oberflächen von höherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von R e y e (Geometrie der Lage) über die ebenen kubischen Kurven, einige von T h i e m e (Zeitschr. f. Math 24; Math. Ann. 20, 28), von M i l i n o w s k i (Zeitschr. f. Math. 21, 23; Journ. für Math. 89, 97) und von S c h u r (Zeitschr. f. Math. 24). Ihnen könnte man die beiden folgenden Arbeiten hinzufügen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekrönt sind: H. J. S. S m i t h, Mémoire sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques (Annali di Matem. II, 3); K o r t u m, Über geometrische Aufgaben dritten und vierten Grades (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die Veröffentlichung einer Schrift von E. K ö t t e r, die 1886 von der Berliner Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen Kurven zu versetzen. (Sie ist während der Anfertigung der Übersetzung vorliegender Schrift in den Berliner Abh. 1887 unter dem Titel: Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Kurven erschienen.)

787 Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde ausdrücklich von L a m é mit folgenden Worten erklärt: »Quand on médite sur l’histoire des mathématiques appliquées, on est effectivement conduit à attribuer leurs principales découvertes, leurs progrès les plus décisifs à l’association de l’analyse et de la géométrie. Et les travaux, que produit l’emploi de chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des préparations, des perfectionnements, en attendant l’époque qui sera fécondée par leur réunion.« (Leçons sur les coordonnées curvilignes, 1859, S. XIII und XIV.)

788 P o i n s o t, Comptes rendus 6 (1838) S. 809.